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Wie bestimmt man die Matrix bezüglich der Basen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Linear Abbildung, Matrizenrechnung, wie bestimmt man die Matrix bezüglich der Basen?

wiewowas aktiv_icon

21:32 Uhr, 11.12.2016

Hallo,
ich habe Schwierigkeiten eine Aufgabe zu lösen.
Und zwar:
Ich habe zwei Basen gegeben A und

B

A := (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

und

B := (\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 3 \\ 5 \end{matrix})

Ebenso

φ := ℝ^{3} \to ℝ^{2}

ist die lineare Abbildung, welche die folgende Bedingungen erfüllt:

φ (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \\ 15 \end{matrix}), φ (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \\ - 13 \end{matrix}), φ (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 7 \end{matrix})

zu bestimmen ist nun die beschreibende Matrix

B φ A

.

Ich hab jetzt versucht erstmal die Matrix der linearen Abbildung herauszufinden, also:

(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \\ 15 \end{matrix})

dann dasselbe nochmal mit den anderen

(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 \\ - 13 \end{matrix})

(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 7 \end{matrix})

Als Ergebnis erhalte ich

a = - 17,75, b = 10,75, c = 33, d = - 28,75, e = 21,75, f = 57

\Rightarrow (\begin{matrix} - 17,75 & 10,75 & 33 \\ - 28,75 & 21,75 & 57 \end{matrix})

Wie gehe ich jetzt weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

22:21 Uhr, 11.12.2016

Die Matrix, die du aufgestellt hast, brauchst du nicht. (Ich habe deswegen auch nicht überprüft, ob diese passt.)

Du hast eine Basis

A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

des Definitionsbereichs und eine Basis

B = (b_{1}, b_{2})

des Zielbereichs.

Suche nun die Koeffizienten

λ_{i, j}

mit:

φ (a_{1}) = λ_{1, 1} b_{1} + λ_{2, 1} b_{2}

φ (a_{2}) = λ_{1, 2} b_{1} + λ_{2, 2} b_{2}

φ (a_{3}) = λ_{1, 3} b_{1} + λ_{2, 3} b_{2}

(Wie bei der anderen Aufgabe heute auch: Die Basisvektoren des Definitionsbereichs einsetzen. Und dann die so erhaltenen Vektoren als Lineakombination der Basisvektoren des Zielbereichs schreiben. Die Koeffizienten dieser Linearkombinationen bilden dann die gesuchte Matrix.)

Dann ist

(\begin{matrix} λ_{1, 1} & λ_{1, 2} & λ_{1, 3} \\ λ_{2, 1} & λ_{2, 2} & λ_{2, 3} \end{matrix})

die gesuchte beschreibende Matrix.

Für die Koeffizienten

λ_{1, 1}

und

λ_{2, 1}

musst du beispielsweise das Gleichungssystem lösen, welches sich aus

φ (a_{1}) = λ_{1, 1} b_{1} + λ_{2, 1} b_{2}

ergibt.
Also:

φ (\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 1 \end{matrix}) = λ_{1, 1} (\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix}) + λ_{2, 1} (\begin{matrix} - 3 \\ 5 \end{matrix})

Also:

(\begin{matrix} - 19 \\ 15 \end{matrix}) = λ_{1, 1} (\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix}) + λ_{2, 1} (\begin{matrix} - 3 \\ 5 \end{matrix})

Edit: Ich geh jetzt erst einmal ins Bett und schaue eventuell erst morgen abend wieder ins Forum.

wiewowas aktiv_icon

23:26 Uhr, 11.12.2016

Ich glaub ich habs jetzt raus. Vielen Dank. Dank dir habe ich es endlich verstanden.

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