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Wie beweise ich die Primfaktorenzerlegung?

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Primzahlen

Teilbarkeit

Tags: Algebraische Zahlentheorie, kgV, Primfaktorenzerlegung, Primzahl, Teilbarkeit

kathifanki aktiv_icon

16:31 Uhr, 05.04.2025

Hallo,
wie zeige ich folgende Aufgabe am besten? Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

pivot aktiv_icon

17:52 Uhr, 05.04.2025

Hallo,

sei

c = p_{1}^{c_{1}}

und

d = p_{1}^{d_{1}}

und

c_{1} \geq d_{1}

. Um das ggT von c und d zu ermitteln muss von

c_{1}

die Differenz von

c_{1}

und

d_{1}

abgezogen werden, da sonst auch Faktoren berücksichtigt würden, die nur in

c = p_{1}^{c_{1}}

und nicht in

d = p_{1}^{d_{1}}

enthalten sind :

c_{1} - (c_{1} - d_{1}) = d_{1}

Das wäre eine erste Idee. Dann noch den Fall für

c_{1} < d 1

durchspielen. Was für eine Funktion ergibt sich, wenn man beide Fälle zusammenfasst? Und dann verallgemeinern auf

n

Hochzahlen.

Gruß
pivot

HAL9000

18:44 Uhr, 05.04.2025

Ich betrachte diese Aussage als eine Folgerung von folgender einfacherer Aussage: Für zwei positive Zahlen

u, v

mit den Primfaktorzerlegungen

u = p_{1}^{u_{1}} \cdot \dots \cdot p_{n}^{u_{n}}

und

v = p_{1}^{v_{1}} \cdot \dots \cdot p_{n}^{v_{n}}

(wobei auch Primfaktorexponenten 0 zugelassen sein mögen) gilt genau dann

u ∣ v

, wenn

u_{k} \leq v_{k}

für alle

k = 1, \dots, n

ist.

HJKweseleit aktiv_icon

12:53 Uhr, 10.04.2025

Nehmen wir an, die Primzahl p kommt in a e-mal und in b f-mal vor, wobei f = e + k mit k

\geq

0 sein soll.

Dann ist

p^{e}

in a und b enthalten, also ein gemeinsamer Teiler von a und b.

p^{e + 1}

ist aber nicht mehr in a enthalten, kann somit auch in keinem Teiler von a mehr sein und damit auch nicht in einem gemeinsamen Teiler von a und b enthalten sein. Da der ggT möglichst groß werden soll, wählen wir für den ggT den Faktor e-mal aus.

Somit:

Der größte gemeinsame Teiler von a und b enthält den Primfaktor p genau e-mal.

Das lässt sich sofort auf die anderen Primfaktoren übertragen, woraus sich die angegebene Darstellung ergibt.
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Ein gemeinsames Vielfaches von a und b muss b und damit auch p mindestens f-mal enthalten. Damit enthält es aber p auch schon e-mal. Damit das kgV möglichst klein bleibt, darf es p nicht öfter als f-mal enthalten.

Das lässt sich ebenfalls auf die anderen Primfaktoren übertragen, woraus sich die angegebene Darstellung ergibt.

HAL9000

13:20 Uhr, 10.04.2025

Mein Beweis für den ggT auf Basis des von mir o.g. Lemmas sähe so aus:

Jeder positive gemeinsame Teiler

t

von

a

und

b

besitzt allenfalls die Primfaktoren

p_{1}, \dots, p_{n}

, hat damit eine Darstellung

t = p_{1}^{t_{1}} \cdot \dots \cdot p_{n}^{t_{n}}

. Gemäß Lemma muss

t_{j} \leq e_{j}

als auch

t_{j} \leq f_{j}

für alle

j = 1, \dots, n

gelten, zusammengefasst

t_{j} \leq min {e_{j}, f_{j}}

. Der größte solche Teiler

t

entsteht genau dann, wenn für alle

j = 1, \dots, n

Gleichheit

t_{j} = min {e_{j}, f_{j}}

herrscht.

Beim kgV läuft es so ähnlich:

Jedes positive gemeinsame Vielfache

v

von

a

und

b

besitzt die Zerlegung

v = p_{1}^{v_{1}} \cdot \dots \cdot p_{n}^{v_{n}} \cdot r

, wobei Restfaktor

r

nur Primfaktoren verschieden von

p_{1}, \dots, p_{n}

enthalten möge. Gemäß Lemma gilt dann

e_{j} \leq v_{j}

sowie

f_{j} \leq v_{j}

für alle

j = 1, \dots, n

, mithin

v_{j} \geq max {e_{j}, f_{j}}

. Das kleinste solche gemeinsame Vielfache bekommt man offenbar genau dann, wenn für alle

j = 1, \dots, n

Gleichheit

v_{j} = max {e_{j}, f_{j}}

herrscht und zusätzlich

r = 1

gilt (d.h. keine weiteren Primfaktoren).

Bleibt noch das eigentliche Lemma zu beweisen, aber das schenke ich mir hier (sollte vergleichsweise kein großes Problem darstellen).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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