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Wie funktioniert der Koeffizientenvergleich?

Schüler

Tags: Koeffizienten bestimmen, Koeffizientenvergleich, Partialbruchzerlegung

iceFr3ak2000 aktiv_icon

12:05 Uhr, 01.09.2018

Hallo,
Ich mache gerade die Partialbruchzerlegung durch und die folgt (laut meinem Prof.) nach folgenden Schritten ab:
1. Term, der mit der Partialbruchzerlegung zu lösen ist
2. Faktorisierung des Nenners
3. Ansatz der Zerlegung
4. Gleichung(en) für den Koeffizientenvergleich
5. Numerische Werte der gefundenen Koeffizienten
6. Ermittelte Partialbrüche
7. Gesamte Zerlegung des Integranten
8. Stammfunktion

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So weit, so gut!
Ich scheitere aber immer bei Schritt 4.
Ein kleines Beispiel:

\int \frac{x^{4} - 3 \cdot x^{2} + x - 1}{x^{3} - 3 \cdot x + 2} d x

\frac{- x - 1}{x^{3} - 3 \cdot x + 2}

{(x - 1)}^{2} \cdot (x + 2)

\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 1}

Bei Punkt 4 wurde folgendes berechnet:
4.

A \cdot (x + 2) + B \cdot {(x - 1)}^{2} + C \cdot (x - 1) \cdot (x + 2) = - x - 1

\Rightarrow C \cdot x^{2} + B \cdot x^{2} + C \cdot x - 2 \cdot B \cdot x + A \cdot x - 2 \cdot C + B + 2 \cdot A

\Rightarrow x^{2} \cdot (C + B) + x \cdot (C - 2 B + A) + (- 2 \cdot C + B + 2 \cdot A)

Und die herauskommenden Gleichungen sind:

C + B = 0

C - 2 \cdot B + A = - 2

- 2 \cdot C + B + 2 \cdot A = - 2

Doch wie kommt man auf die Ergebnisse

0, - 2

und

- 2

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

supporter aktiv_icon

12:15 Uhr, 01.09.2018

Mach zuerst eine Polynomdivision, da der Zählergrad höher ist als der Nennergrad.

Respon

13:16 Uhr, 01.09.2018

Überprüfe Punkt 4. nochmals.

Roman-22

13:30 Uhr, 01.09.2018

@supporter

>

Mach zuerst eine Polynomdivision, da der Zählergrad höher ist als der Nennergrad.
Mein Gott! Versuch doch bitte anstelle Schnellschüsse aus der Hüfte abzugeben einmal die eigentliche Frage der Fragesteller verstehend und vollständig zu lesen.
Die von dir vorgeschlagene Polynomdivision wird doch in den angegebenen Schritten als trivial vorausgesetzt und wurde, wenn du dir die Mühe des genauen Blicks auf den Post machen würdest, auch völlig richtig durchgeführt (ohne sie unnötigerweise explizit anzuschreiben).

@Eisfrosch

>

Bei Punkt 4 wurde folgendes berechnet:
4. A⋅(x+2)+B⋅(x−1)2+C⋅(x−1)⋅(x+2)=−x−1
⇒C⋅x2+B⋅x2+C⋅x−2⋅B⋅x+A⋅x−2⋅C+B+2⋅A
⇒x2⋅(C+B)+x⋅(C−2B+A)+(−2⋅C+B+2⋅A)
Schreib das bitte richtig als Gleichung an:

x^{2} \cdot (C + B) + x \cdot (C - 2 B + A) + (- 2 \cdot C + B + 2 \cdot A) = - x - 1

x^{2} \cdot (C + B) + x \cdot (C - 2 B + A) + (- 2 \cdot C + B + 2 \cdot A) = x^{2} \cdot (0) + (- 1) \cdot x + (- 1)

Diese Gleichung muß für jeden beliebigen x-Wert erfüllt sein. Das ist nur möglich, wenn die Koeffizienten der Potenzen von

x (x^{2}, x^{1}, x^{0})

links und recht gleich sind.
Durch diesen Vergleich erhältst du drei Gleichungen für die Unbekannten

A, B, C

>

Und die herauskommenden Gleichungen sind:

>

Doch wie kommt man auf die Ergebnisse 0,−2 und −2?
Die Gleichungen sind falsch. Da muss rechts jeweils

- 1

anstelle von

- 2

stehen!

Einfacher ist es bei reellen Nenner-Nullstellen diese einfach in die Gleichung einzusetzen (man erspart sich auch das Ausmultiplizieren nach dem gleichnamig machen), denn da bekommt man für jede reelle Nullstelle sofort eine der Unbekannten

A, B, C

raus.

@Respon
Es wurde dir ohnehin schon mehrmals auch von anderen Forenteilnehmern gesagt - aber zur Sicherheit nochmals:
Vor dem Beginn einer Antwort bitte das Browserfenster neu laden (üblicherweise mit Strg-R) und dann Acht geben, ob rechts oben die Meldung "Es wird gerade geantwortet" erscheint. Falls du die Meldung siehst wäre es sinnvoll und auch ein Gebot der Höflichkeit, mit der eigenen Antwort noch zuzuwarten.

iceFr3ak2000 aktiv_icon

15:08 Uhr, 01.09.2018

Danke Roman-22 für die ausführliche und hilfreiche Antwort!

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