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Wie funktioniert diese Aufgabe?

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Tags: Gruppen

kathifanki aktiv_icon

12:45 Uhr, 23.03.2025

Wie funktioniert die angehängte Aufgabe? Habe bis jetzt noch keinen Lösungsansatz... Vielleicht kann mir jemand allgemein noch wichtige Sachen zu dem Thema erklären?

michaL aktiv_icon

14:09 Uhr, 23.03.2025

Hallo,

betrachte den Gruppenhomomorphismus

φ : {\begin{array}{rcl} ℤ & \to & G \\ z & \mapsto & a^{z} \end{array}

(Dabei

a \in G

beliebig und

a^{z}

wie folgt rekursiv definiert:

a^{0} := e

a^{n + 1} := a \cdot a^{n}

für

n \in ℕ

, sowie dann

a^{z} := {(a^{- z})}^{- 1}

für

z \in ℤ \ ℕ

.)

Da

∣ G ∣ < \infty

, aber

∣ ℤ ∣ = \infty

gilt, muss es ein

n \in ℕ \ {0}

geben (warum?), sodass

a^{n} = e

. Daraus kann man dann ganz leicht (i) folgern.

(ii) kann ich nur vermuten (da ich ja Satz(2.1.24) nicht kenne). Ich nehme, dass

〈 M 〉 = {a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}} \dots a_{n}^{k_{n}} : n \in ℕ, \forall i \in {1, \dots, n} : a_{i} \in M, k_{i} \in ℤ}

lautete, oder?

Hier geht es schließlich darum, dass man alle Potenzen eines Elementes allein durch fortwährendes Multiplizieren mit diesem Element erhält. Auch die Potenzen mit negativem Exponenten. Insbesondere das Inverse.

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

09:10 Uhr, 24.03.2025

i)

Für

a = e

gilt die Aussage trivialerweise.
Sei nun

a \in G \ {e}

und

n = | G |

.
Angenommen

a^{k} \neq a^{- 1}

für alle

k \in N

.
Dann ist die Abbildung

{1, ..., n} \to G, k \mapsto a^{k}

nicht injektiv und es gibt

1 \leq k_{1} < k_{2} \leq n,

sodass

a^{k_{1}} = a^{k_{2}} = a^{k_{1}} a^{m}

mit

m = k_{2} - k_{1} > 0

.
Es gilt also

a^{m} = e = a a^{- 1}

und somit sogar

m > 1

wegen

a = a^{1} \neq e

.
Es folgt

a^{m - 1} = a^{- 1}

mit

m - 1 \in N,

im Widerspruch zur Annahme.
Also gilt doch

a^{k} = a^{- 1}

für ein

k \in N

Randolph Esser aktiv_icon

04:50 Uhr, 27.03.2025

Kathifanki, vier Threads von Dir
verpuffen hier einfach im Nichts.
Uncool.
Besser: Abhaken oder weiterfragen...

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