Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wie geht der Beweis weiter?

Wie geht der Beweis weiter?

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

kathifanki aktiv_icon

16:27 Uhr, 23.03.2025

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei dieser Beweisaufgabe. Ich hätte nun einen kleinen Ansatz, weiß aber nicht wie ich weitermachen soll bzw. ob mein Ansatz überhaupt richtig ist.
Kann mir jemand helfen?

michaL aktiv_icon

20:08 Uhr, 23.03.2025

Hallo,

nun: zu zeigen wäre, dass es ein

n \in ℕ

gibt, sodass für alle Elemente

x \in H

gilt:

x = (a^{n})^{m}

für ein

m \in ℕ

.

Eigentlich ist so ein

n

nicht schwierig zu finden. (Welcher Exponent wäre denn deiner Meinung nach geeignet? Sehr hilfreich in diesem Zusammenhang ist hier das Potenzgesetz

(b^{k})^{l} = b^{k l}

!!)

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

22:58 Uhr, 23.03.2025

Sei

G = < a >

für ein

a \in G

.
Falls

H = {e},

gibt es nichts zu zeigen.
Andernfalls gibt es für jedes

h \in H \ {e}

ein

k \in N,

sodass

h = a^{k}

.
Sei nun

m := m i n {k \in N : a^{k} \in H \ {e}}

und

h \in H

beliebig.
Dann gilt

h = a^{n}

für ein

n \in N_{0}

und es gibt

q, r \in N_{0}

mit

r < m,

sodass

n = q m + r

gemäß Division mit Rest.
Damit gilt nun

h = a^{n} = {(a^{m})}^{q} a^{r}

und somit

h {(a^{m})}^{- q} = a^{r} \in H

.
Aus

r < m

folgt

r = 0

und somit gilt

h = {(a^{m})}^{q}

.
Also gilt

H = < a^{m} >

kathifanki aktiv_icon

14:28 Uhr, 24.03.2025

Vielen vielen Dank!!

Eine Frage noch: Wie kann ich aus

r < m

schließen, dass

r = 0

m

ist ja die kleinste Zahl, sodass

a^{m} = e

. Da könnte ja a zum Beispiel auch 5 sein. Könnte dann

r

nicht auch 3 sein zum Beispiel?

kathifanki aktiv_icon

14:28 Uhr, 24.03.2025

Vielen vielen Dank!!

Eine Frage noch: Wie kann ich aus

r < m

schließen, dass

r = 0

m

ist ja die kleinste Zahl, sodass

a^{m} = e

. Da könnte ja a zum Beispiel auch 5 sein. Könnte dann

r

nicht auch 3 sein zum Beispiel?

Randolph Esser aktiv_icon

15:26 Uhr, 24.03.2025

Mein Beweis oben hatte ein paar Macken.
Sorry, hier die Beta-Version:

Sei

G = < a >

für ein

a \in G

.
Falls

H = {e},

gibt es nichts zu zeigen.
Andernfalls sei

m := min {k \in N : a^{k} \in H \ {e}}

und

h \in H

beliebig.
Dann gilt

h = a^{z}

für ein

z \in Z

und es gibt

q \in Z, r \in N_{0}

mit

r < m,

sodass

z = q m + r

gemäß Division mit Rest.
Damit gilt nun

h = a^{z} = {(a^{m})}^{q} a^{r}

und somit

h {(a^{m})}^{- q} = a^{r} \in H

.
Aus

r < m

folgt

a^{r} = e

und somit gilt

h = {(a^{m})}^{q}

.
Also gilt

H = < a^{m} >

.

Der ist jetzt scheckheftgepflegt
und es ist auch egal, was

r

konkret ist.

Bei meinem ersten Anlauf bin ich von

< a > := {a^{k} : k \in N}

statt

< a > := {a^{z} : z \in Z}

ausgegangen
und der Schluss auf

r = 0

war falsch und garnicht nötig.
Danke fürs Nachhaken...

michaL aktiv_icon

16:25 Uhr, 24.03.2025

Hallo,

nun muss ich doch nochmal eingreifen...

@OP: Wir gehen mal von

G = 〈 a 〉

für irgend ein

a

aus.
WENN nun

H

zyklisch sein sollte, dann müsste es ja für

H

einen Erzeuger geben. Das müsste ja ein Element aus

G

sein. Die sind alle von der Form

a^{n}

für tatsächlich irgendein

n \in ℕ \ {0}

.

Wir gehen mal davon aus, dass

a^{n}

so ein Erzeuger von

H

wäre (

n

geeignet).
Dann wären doch alle Elemente aus

H

Potenzen von

a^{n}

, d.h. für alle

x \in H

gilt:

x = (a^{n})^{m} \overset{Potenzgesetz}{=} a^{n \cdot m}

.
Insbesondere wären die Exponenten doch alle Vielfache von

n

und insbesondere größer als

n

.
Wenn dem also so wäre, dann wäre doch die kleinste Potenz ein geeigneter Kandidat für den Erzeuger von

H

.

Ok, dann nehmen wir mal

n := min {m \in ℕ \ {0} ∣ a^{m} \in H}

her.
Wir wollen nun beweisen, dass alle anderen Elemente von

H

Potenzen dieses Elementes sind, d.h. dass

a^{n}

ein Erzeuger von

H

ist. (Es gibt zumeist auch noch weitere, aber das ist hier nicht wichtig!)
Dazu verwenden wir hochgradig, dass

n

der KLEINSTE positive ganzzahlige Exponent ist, sodass

a^{n} \in H

gilt. Kleinere ganzzahlige positive Exponenten kann es nicht geben!

Und dazu verwenden wir die Division mit Rest:
Sei also

a^{k} \in H

ein weiteres Element. Wir dürfen davon ausgehen, dass

k \in ℕ \ {0}

gilt. (Dazu kann ich weiter unten noch was schreiben!)

Nun gibt es wegen der Division mit Rest

v, r \in ℕ

mit

k = v \cdot n + r

.
Erinnere dich an die Division mit Rest aus der Grundschule. Wir können dabei

0 \leq r < n

gilt.

Dann folgt aber:

a^{r} = a^{k - v n} = a^{k} \cdot (a^{v n})^{- 1} \in H

, da

a^{k} \in H

(per def.) und wegen

a^{n} \in H

(per def.) auch

(a^{v n})^{- 1} \in H

.

Wegen

r < n

gibt es demnach also einen kleineren Exponenten als

n

, sodass dessen Potenz von

a

ein Element von

H

ist.
Das kann aber nicht sein, wenn

r > 0

gilt. (Weil

n

minimal gewählt worden ist.

r

wäre dann so etwas sinnloses wie ein Subminimum!)
Dann muss zwangsläufig aber

r = 0

gelten. (Und das ist entscheidend!)

Denn das bedeutet insbesondere, dass

k

OHNE REST durch

n

teilbar ist, d.h.

n ∣ k

gilt.
Damit haben wir letztlich

H \subseteq 〈 a^{n} 〉

gezeigt.
Dass "

\supseteq

" gilt, liegt in der Wahl von

a^{n}

und der Tatsache begründet, dass

H

eine (Unter-)Gruppe ist.

Ich weiß, dass es einfacher ist, jemanden anderes die Aufgaben machen zu lassen, als es selbst zu tun.
Ich habe aber mit meiner Antwort alles getan, die auf den richtigen Weg zu brinden. Gerade bei den einfachen Aufgaben wie dieser hier, ist das auch relativ einfach. Über jetzt und widerstehe der Verlockung, fertige Lösungen aus diesem Forum erhalten zu wollen.

Zum Thema Exponenten aus den natürlichen oder ganzen Zahlen: Dein anderes posting in www.onlinemathe.de/forum/Wie-funktioniert-diese-Aufgabe-4 erlaubt es uns doch, uns auf positive ganze (also natürliche) Zahlen (dann ohne Null) zu beschränken. Müsste ich die negativen ganzen Exponenten auch berücksichtigen, so würde der Beweis nicht funktionieren, da die ganzen Zahlen (anders als die natürlichen) NICHT nach unten beschränkt sind!

Mfg Michael

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1590449

1590440

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?