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Wie kommt die Diagonal zustande in dieser Matrix?

Schüler

Tags: matriz

Specter aktiv_icon

17:33 Uhr, 09.10.2015

Ich weiß wie die 7 zusatnde kommt, also das ist einfach die Determinante Und es muss ja gelten: Det(A)

= \frac{1}{det (A)}

Aber ich versteh nicht wieso die Vorzeichenwechsel. Kann mir das jemand bitte erklären? Ich verstehe das nicht. Wo ist der Zusammenhang zwischen der Determinante, Inverse der Matrix, Transponierte Matrix und Transformationsmatrix?

Aufgabenstellung lautet: Geben Sie die jeweiligen Transformationsmatrizen an.Wie lauten die Koordinaten der Basisvektoren von

B \in E

und von

E \in B

? Prüfen Sie, ob die
Transformationsmatrizen orthogonal sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

She-Ra aktiv_icon

20:57 Uhr, 09.10.2015

Hallo Specter,

deine Threadfrage ist ein bisschen komisch formuliert, was meinst du denn jetzt genau mit "Wie kommt die Diagonal zustande in dieser Matrix?"

Fragst du hier nach einer Diagonalen innerhalb einer bestimmten Matrix oder meinst du vielleicht die Diagonalmatrix?

Und dann diese Formel von der Determinanten, was willst du damit aussagen?? (das ist nicht mal ne korrekt Formel)

Und das hier "Aber ich versteh nicht wieso die Vorzeichenwechsel" von was denn?

Nun zu den Begriffen... Es bestehen ein paar ganz bestimmte Beziehungen zwischen Determinante und Inerverser Matrix, z.B. Inverse Matrix existiert ist äquivalent zu Determinante einer Matrix ist ungleich Null.., Schon mal gehört? Oder drauf gestoßen?

Dann gibt es für 2X2 Matrizen eine ganze bestimmte Darstellung der Inversen Matrix, das ist der Ausdruck oben von dir mit negativem Vorzeichen. Und die Determinante ist das Produkt der Hauptdigonalen - dem Produkt der Nebendiagolen.... In dem Link findest du ne kleine Herleitung wie man die Inerverse Matrix mittels Adjunkten herleitet ( de.m.wikipedia.org/wiki/Adjunkte

Naja das transponieren einer Matrix ist so ziemlich die einfachste "Rechenregel" von Matrizen (Zeilen und Spalten einer Matrix vertauschen), wir brauchen dann die transponierte Matrix z.B. Beim Diagonlasieren....

Das mit der Transformationsmartix ist noch mal ne andere Sache ( im Prinzip auch alles mit Gauß Jordan Algorithmus lösbar) hier kannst du direkt mal bei Wikipedia reinschauen, ist zwar keine super Quelle aber für einen ersten Einblick ist das ok...

Also für dieses Diagonlasieren sollten auch Begriffe wie charakteristisches Polynom, Eigenwerte, Eigenvektoren etc. bekannt sein...

Wenn du dich belesen hast und Ideen hast oder einen Ansatz kannst du das hier reinschreiben...

Es bringt nichts hier etwas komplett vorzurechnen.

LG

Specter aktiv_icon

22:47 Uhr, 09.10.2015

hab mich vertan mit der

7,

das war eine andere Aufgabe!

Also die

16

weiß ich wie man ermittelt.(

4 \cdot 5 - 4 \cdot 1)

Und die Formel mit der Determinante hab ich halt so gelernt, nur hab ich mich verhauen :-P)
Es heißt nämlich

A^{- 1} =

1/DetA

\cdot A

Mir ist nicht klar wieso da die Vorzeichen in der Matrix aufgeführt sind.
BEi der Matric

T = S^{- 1}

wurden ja offensichtlich die Zeilen und Spalten vertauscht, mit Vorzeichenwechsel.. wieso und was ist das? Das ja keine Transponierte matrix, da werden die Vorzeichen ja nicht umgetauscht

: (

Und Eigenvektoren sind doch wenn diese Einsen eine Diagonale bilden und das macht man auch mit Gauß Jordan, das kann ich nämlich schon. So kriegt man die Inverse raus.

Jedoch würde dann die Matrix mit Gauß Jordan ganz anders aus, hier wurden die Zeile und Spalten mit Vorzeichenwechsel vertauscht, der Sinn dahinter erschließt sich mir nicht.

Oder mal gefragt, wenn ich die MAtrix

(\begin{matrix} 4 & 4 \\ 1 & 5 \end{matrix})

mit Gauß Jordan schreiben würde so dass es die Form

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

annehmen würde, wäre es dann das gleiche?

Specter aktiv_icon

23:28 Uhr, 09.10.2015

Also ich habe jedenfalls raus jetzt für die Transformation zu

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) :

(\begin{matrix} - \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ \frac{5}{16} & - \frac{1}{4} \end{matrix})

Multipliziere ich

\frac{1}{4}

und

- \frac{1}{4}

mit 4 habe ich:

(\begin{matrix} - \frac{1}{16} & \frac{4}{16} \\ \frac{5}{16} & - \frac{4}{16} \end{matrix})

\Rightarrow \frac{1}{16} \cdot (\begin{matrix} - 1 & 4 \\ 5 & - 4 \end{matrix})

ok, da hab ich die 1 mit der 5 vertauscht aber hauptsache die Antwort auf meine Frage vorhin lautet wohl ja xP Trozdem versteh ich da snicht so recht mit der Adjunkten, das Wort gibt es nichtmal im Script.

She-Ra aktiv_icon

23:50 Uhr, 09.10.2015

Hallo Specter,

also "Mir ist nicht klar wieso da die Vorzeichen in der Matrix aufgeführt sind. BEi der Matric

T = S^{- 1}

wurden ja offensichtlich die Zeilen und Spalten vertauscht, mit Vorzeichenwechsel"

Also zunächst noch mal bei einer Quadratischen 2X2 Matrix gibt es die eine bestimmte Darstellung/ Formel für Inverse Matrizen. Also in deinem Fall haben wir festgestllt

S^{- 1} = \frac{1}{d e t (S)} * S

, wobei hier bei S die Elemente der HAuptdiagonalen vertauscht werden und die Elemente in der Nebendiagonalen bekommen jeweils das andere Vorzeichen (Vorzeichenwechsel).

ES IST ABER NICHT SO WIE DU vielleicht gedacht hast, dort werden nicht einfach Zeilen und Spalten vertauscht, so als ob du nach der Transbonierten Matrix suchst.

Ok nun warum ist das so mit der Inversen? ZUm einen habe ich dir hier den Link vorhin schon mitgegeben STICHWORT ADJUNKTE ( de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte und es gilt ja außerdem die folgende Identität:

S * S^{- 1} = E

(das kann man dann auch gut als Probe benutzen um zu schauen, ob man dann die Inverse wirklich korrekt berechnet hat, z.B. bei gößeren Matrizen, 3X3 Matrizen ganz gut...)

"Und Eigenvektoren sind doch wenn diese Einsen eine Diagonale bilden und das macht man auch mit Gauß Jordan, das kann ich nämlich schon. So kriegt man die Inverse raus." WAS??

Zunächst betimmst du ja die Eigenwerte (

\det (A - λ E) = 0

) und zu jedem Eigenwert kannst du dann einen Eigenvektor (

(A - λ E) \cdot x = 0

) bestimmen, in Klammern steht wie du diese Sachen berechnen kannst..

Ja mit dem Gauß-Jordan-Algo. kannst du in der Linearen Alegebra so ziemlich alles brechnen und lösen (auch die Inverse), es führt immer wieder alles auf diesen Algorithmus zurück!

DEinen letzten Satz verstehe ich nicht..nein es wäre nicht das gleiche, die Ausgangsmatrix löst ja mit dem Algo. und versuchst ja durch diese Zeilenstufenform die i-ten Einheitsvektoren zu erzeugen.

She-Ra aktiv_icon

00:11 Uhr, 10.10.2015

Deine Rechnung stimmt nicht -.-

Warum machst du das so kompliziert, schreib dir einfach die Ausgangsmatrix auf dann eine Trennlinie und daneben die Einheitsmatrix und dann wendest du den Gauß-Algo. so an, das am Ende auf der linken Seite de Einheitsmatrix steht und auf der rechten Seite die Inverse...

Warum nennt Ihr überhaupt das Berechnen der Inversen "Transformation"?

Specter aktiv_icon

01:04 Uhr, 10.10.2015

halloa :-)

"Warum nennt Ihr überhaupt das Berechnen der Inversen "Transformation"?"

Das tun wir ja nicht, ich habe nicht die ganze AUfgabe gestellt, das wäre zu viel. Aber diese Teilaufgabe steht in Zusammenhang mit der Transformation. Ich äneg es mal dran.

"Deine Rechnung stimmt nicht -.-"

Ja sorry ,ich habe ja auch gesagt dass ich die 5 mit der 1 verwechselt habe... heir nochmal in Kurzform. Obere Reihe nenne ich Gleichung I, untere Gleichung II:

{(\begin{matrix} 4 & 4 \\ 1 & 5 \end{matrix})} {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}

\Rightarrow + I \cdot \frac{1}{4} (- 1)

{(\begin{matrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{matrix})} {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ - \frac{1}{4} & 1 \end{matrix})}

Schließlich habe ich dann:

{(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix})} {(\begin{matrix} \frac{5}{16} & - \frac{4}{16} \\ - \frac{1}{4} & 1 \end{matrix})}

\Rightarrow {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})} {(\begin{matrix} \frac{5}{16} & - \frac{4}{16} \\ - \frac{1}{16} & \frac{4}{16} \end{matrix})}

Ich glaube das ist so wie Du es dir vorgestellt hast.
Warum ich das "so kompliziert" mach? Ganz einfach weil ich nicht wusste wie der Ausdruck

\frac{1}{16}

mit dieser Matrix geboren wurde :-D)
Ich kenne es ja auch nur mit dem Gauß-Jordan, dass nur eine Matrix rauskommt.
Vielleicht gibt es ein effizienteren Weg um zum Ziel zu gelangen, aber das beherrsch ich nunmal nicht. Mit der Laplace-Entwicklung geht es ja nur ab 3x3-Matrix soweit ich weiß. Der Begriff der Adjunkten ist mir jedenfalls erst heute bzw. vor paar Stunden vor Mitternacht begegnet :-)

Aber ohne viel herzuleiten kann ich es mir so in mein Hirn brandmarken:

〈

Ich berrechne zunächst die Determinante. Und bilde damit das Produkt mit der Adjunktierten. BEi der gilt es dass in der Haupdiagonale (von links oben nach rechts unten) die Zahlen vertauscht werden, bei der Nebendiagonale (unten links nach oben rechts) die Vorzeichen

〉

?
Bei der 3x3-Matrix würde dann das nicht so funktionieren.. wenn man nach Laplace vorgeht. da bekommt man nur die Determinante, aber hier geht wohl es auch für die Inverse, aber ist auch aufwändiger. Hmm... bleibt dann nur Gauß-Jordan oder?

: (

EDIT: Zumindest bei der Hauptdiagonalen ist es so wie beim Laplace... aber dann steckt da ein anderes System dahinter. Just stick with Gauß-Jordan, I guess... Achso und mit "Wie bei Laplace" meinte ich dass bei der gewählten SpaltexReihe die benachbarten Spalten und Reihen abgedeckt werden und dann mit den anderen wie bei der Determinante berrechnet werden. :-) Ok, doch... jetzt bin ich verwirrt. Ich hab mir Deinen Link durchgelesen und da IST es so wie bei Laplace, aber dann wieder doch nicht xD

She-Ra aktiv_icon

01:53 Uhr, 10.10.2015

Ja das sieht jetzt gut aus :-), aber die geschwungenen Klammern kannst du dann auf dem Papier weglassen, einfacher Trennstrich reicht und immer schön hinter jede Zeile die jeweilige Operation schreiben...

Dein Mini-Merksatz ist gut...das ist ebend genau diese Formel, die wir die ganze Zeit benutzen und erwähnen, aber Nur bei einer quadratischen 2X2 Matrix!!!!

Na dann hast jetzt mal nen neuen Begriff gelernt,ist doch ne gute Uhrzeit dafür :-)
ja bei der Laplace Entwicklung hat man auch diesen Vorzeichenwechsel, aber da musst du dir nicht mehr so viele Gedanken machen, Hauptsache du weißt was du ungefähr zu tun hast und was diese Begriffe inverse, Determinante usw. Bedeuten und wie die miteinander zusammenhängen!

Es gibt bei 3x3 Matrizen auch die Möglichkeit mit der Regel nach Cramer die Inverse zu gewinnen aber das ist meiner Meinung nach auch aufwendiger als der Gauß -Algo.

Mit dem Gauß -Algo bist du immer auf der sicheren Seite!

LG

Specter aktiv_icon

01:57 Uhr, 10.10.2015

Danke! :-) Ich habe schon fast Anfall gekriegt als ich Cramer gelesen habe, ein Elektrotechnikstudent hat davon erzählt, wir Chemiker hatten das zum Glück nicht. Aber wir müssen alle Unser Mathe-Kreuz tragen.
Dann nochmal zu der 3x3-MAtrix, zu dem link den Du mir geschickt hast: :-)
Also dass es wie zunächst bei Laplace ist, das haben wir schon ausklamüsert.
Aber DANN bei dem letzten Schritt, da ist es doch mit der Transponierten oder? Also man sieht zB dass die 3. Zeile und 1. SPalte mit der 1. Zeiel und 3. Spalte vertauscht werden.

She-Ra aktiv_icon

02:27 Uhr, 10.10.2015

Ja genau richtig, die transponierte Matrix ist dann diese Adjungierte, so wird das dort bezeichnet, merkst du da dran wenn im Exponent eine großes T steht.

Ja falls du diese Aufgabe im Anhang lösen möchtest /musst... Kannst du deine Ideen hier ins Forum schreiben, ich denke die Aufgabe ging ja noch ein bisschen weiter...

Aber ich sag jetzt erstmal Gute Nacht!

Specter aktiv_icon

21:53 Uhr, 11.10.2015

Ja danke, das hat mir sehr geholfen :-)
Jetzt habe ich hier etwas wo ich nicht die Frage verstehe... Ich habe die Matrix:

(\begin{matrix} 3 & - 1 & 2 \\ 2 & - 2 & 1 \\ - 5 & - 1 & - 4 \end{matrix})

Das Ergebnis liefert mir eine Determinante 0 also kann ich die Inverse nicht bestimmen.

Hierbei ist noch definiert mit Matrix A und Vektor

x :

A \cdot x = 0

DIe Frage lautet:

"das homogene lineare Gleichungssystem hat neben der Triviallösung
noch eine nicht-triviale, nicht eindeutige Lösung. Welche?"

Und daruf weiß ich keine Antwort denn ich weiß nich twas ich da machen soll.

: (

She-Ra aktiv_icon

22:26 Uhr, 11.10.2015

N'abend Specter,

ok genau um ein homogenes LGS zu lösen hast du schon mal die Gleichung richtig aufgeschrieben:

A * \vec{x} = \vec{0}

Hast du unseren coolen Gauß-Algo. schon wieder vergessen -.-

Das Verfahren wendest du jetzt nämlich an (schreib dir wieder die Koeffizientenmatrix auf einen Querstrich und daneben den Nullvektor..
)... kannst du das bitte zunächt lösen, dann zeigst du mir wie du es gelöst hast und was am Ende rauskommt...

In diesem Zusammenhang sagt dir vielleicht der Begriff "Rang" etwas?

Specter aktiv_icon

22:38 Uhr, 11.10.2015

hmmhmm, ja. Das ist die diagonale Nullfolge welche den Rang bestimmt oder?
Äh ich meinte Horizontale... die auschließlichen Nullen halt :-P)
Also einfach wieder Gauß-jordan, ok. :-)

She-Ra aktiv_icon

22:40 Uhr, 11.10.2015

Ja genau erstmal den Algorithmus ausführen, wir kümmern uns dann danach um den Rang einer Matrix (deine Erklärung dazu ist ein bisschen grusselig :-) )

so by the way, bist du eigentlich ein Schüler oder Student, das letztemal dachte ich du hättest gemeint du wärst ein Chemiker also Chemie-Student...?

She-Ra aktiv_icon

22:46 Uhr, 11.10.2015

Nee diese Erklärung ist leider auch nicht besser -.- aber mach erstmal den Gauß...

Specter aktiv_icon

22:51 Uhr, 11.10.2015

DIe Lösung ist

(\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

SIeht definitiv komsich aus

: (

Rang ist 2?

Aber da es sich nicht durch die erweiterte Koeffizientenmatrix unterscheidet, hat es unendlich viele Lösungen weil

M \cdot x = 0

statt gar keine oder?

Also muss es eine bestimmte Variable

λ

auffindbar sein, die in der Gleichung passt. Aber wie bekomme ich die nochmal raus? Ich bin mir sicher das war Abiwissen, und man setzte es eventuell voraus dass ich es weiß aber es "its einfach nicht mehr da" xD

She-Ra aktiv_icon

23:14 Uhr, 11.10.2015

ok gut.

Ich hoffe du hast es mit deinem eigenem Kopf gemacht und nicht Programm x,y benutzt!

Den Rang hat du übrigens doch korrekt angegeben (hast du etwa doch geschummelt -.-)
Denn deine Erklärung passt nicht zum Ergebnis!

Nun kommen wir zunächst zu deiner Lösungsmenge, die musst du dann natürlich zum Schluss immer angeben!

Da die Koeffizeintenmatrix einen Rang= 2 hatte, schreibe rg(A)=2 und ebend die eine Nullzeile (wobei diese Nullzeile nicht das Argument für den Rang liefert, sondern die Anzahl max. linear unabhänigiger Zeilen)

D.h. wir haben einen freien Parameter...wie sieht das aus?

Schreibe den letzen Eintrag deines LGS in Gleichungsform auf:

unser

\vec{x}

soll folgende Elemente haben,

\vec{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}

(1) x_{1} = - \frac{3}{4} * x_{3}

(2) x_{2} = - \frac{1}{4} * x_{3}

also ist

x_{3} \in R

ein freier Parameter, setze

x_{3} = t

mit

t = 4

Dann lautet die Lösungsmenge:

L ={

((x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} = (0, 0, 0)^{T} + t * (- 3, - 1, 4)^{T}, t \in R

}

Kannst du mir dann noch sagen, ob du Schüler oder Student bist? Dann weiß ich auch wieviel ich noch erzählen muss :-), da war doch was mit Chemie?

Specter aktiv_icon

23:18 Uhr, 11.10.2015

NAtrülich habe ich es in Arndt-Brunner eingegeben, ist doch aufwendig so ein Gauß-Jordan-Verfahren. Hauptsache ist doc hdass ich es verstehe :-D)

Ich eile übrigens voraus, ich habe schon per Paint was dazu gekritzelt:

She-Ra aktiv_icon

23:23 Uhr, 11.10.2015

Guck mal einen Post drüber!

Du brauchst am Ende nichts mehr "zu rechnen" nur Gleichung in Parameterform angeben...

Specter aktiv_icon

23:23 Uhr, 11.10.2015

also

(\begin{matrix} - 3 \\ - 1 \\ 4 \end{matrix})

? hmmm... ich muss mal überlegen.

She-Ra aktiv_icon

23:25 Uhr, 11.10.2015

!!WICHTIG!! Dieser Lösungsvektor ist nur ein möglicher Lösungsvektor, je nach dem wie du den Parameter

t \in R

setzt erhälst du nen anderen Lösungsvektor ;-)

Denn wir haben unendlich viele Lösungen! , d.h man sagt dieses LGS ist nicht eindeutig lösbar..

Specter aktiv_icon

23:27 Uhr, 11.10.2015

Ja hat auch unendlich viele Lösungen, gell :-D)

Dachte zunächst ich müsse es so einsetzen dass es 0 ergibt. Aber dann würde für beide Gleichungen jeweils eine andere Variable eine ROlle spielen und das würde dann keinen Sinn ergeben, stimmts?

She-Ra aktiv_icon

23:32 Uhr, 11.10.2015

JA genau das mcht keinen Sinn!

Hast du jetzt eigentlich auch den Zusammenhang verinnerlichen können?

Also mit der Determinanten, Inverse MAtrix, Lösbarkeit vom LGS, RANG , wir haben ja jetzt nur ein homogenes LGS betrachtet...

wenn man ein allgemeines LGS betrachtet siehts anders aus, aber das nur so am Rande :-)

Specter aktiv_icon

23:36 Uhr, 11.10.2015

naja, in der DGL war es ja so dass homogen bedeutet dass angegeben eine Funktion ist:

f (x) = 0

und inhomogen ist

f (x) = g (x)

oder so, die man leicht über Variation der Konstanten oder schwieriger über eine partikuläre Lösung bestimmen kann. Dazu muss man am Ende oft Koeffizientenvergleich machen.
Naja vielleicht wäre einfacher wenn Du sagen würdest was Du mit "allgemein" meinst :-)
Sicher msus man da acuh Koeffizientenvergelcih amchen oder? Mir ist das jedenfalls nur bei DGL und Integralberrechnung durch Partialbruchzerlegung begegnet.

She-Ra aktiv_icon

23:44 Uhr, 11.10.2015

Gut ich dachte du möchtest es noch mal in deinen Worten zusammenfassen aber dann mach ich das mal kurz!

Du hattest festgestllt das für dieses hom. LGS

d e t (A) = 0

und dann sagt man die Matrix A ist singulär, es ex. also keine Inverse, d.h. wiederrum das LGS ist nicht eindeutig lösbar und es gibt dementsprechend unedlich veile Lösungen, sprich

r g (A) < n

mit n-r Parametern...( Hier baust du dir eine Argumentationskette auf!)

Für das inhomogenes (allg.) LGS ist dieser Thread dann wirklich nicht mehr geeignet, das sprengt den Rahmen, mach einfach einen neuen Post mit einem Bsp. , nur wenn du Lust hast...

Ich hoffe ich konnte dir helfen...

Specter aktiv_icon

23:47 Uhr, 11.10.2015

Du weißt, dass Du es hast, DANKE :-)

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