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Wie weise ich einen Isomorphismus nach?

Universität / Fachhochschule

Tags: Isomorphismus, Lineare Abbildungen, Lineare Algebra, Vektorraum

mac-user09 aktiv_icon

11:41 Uhr, 26.12.2012

Hallo,

zunächst noch Frohe Weihnachten (am letzten Feiertag...)

wie kann ich bei linearen Abbildungen nachweisen, dass es ein Isomorphismus ist?

Z . B

. bei dieser Aufgabe:

Seien

V

und

W

K−Vektoräume, und

dim (V) = n \in N,

mit n≥2, und

f : V

→

W

linear.
Weiter sei

k \in {1, ... n

−

1}

und

(v_{1}, ..., v_{k}, v_{k + 1}, ... v_{n})

eine Basis des Vektorraums

V

so, dass

(v_{1}, ..., v_{k})

eine Basis von kern(f) ist. Sei

U :=

span(v_(k+1(,...,v_n).

Zeigen Sie: Die Lineare Abildung

f

induziert einen Isomorphismus von

U

auf das Bild(f),

(d . h .,

die Abbildung

f' : U

→ Bild(f),

x

|→

f (x)

ist ein Isomorphismus.)

f'

≠ df/dx

Ich weiß, dass eine lin. Abbildung Isomorphismus ist, wenn sie Bijektiv ist. Ich müsste also dann doch zeigen, dass sie Injektiv und Surjektiv ist. Dann musste der Kern bei Injektiver Abbildung aber doch 0 sein?

Und was kann ich damit jetzt anfangen? Ich habe keine Idee, wie ich das zeigen soll.
Könnt ihr mir helfen?

Grüße
Mac

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HenriLeon aktiv_icon

16:15 Uhr, 26.12.2012

Also wir wollen zeigen:-D)ie Lineare Abildung

f

induziert einen Isomorphismus von

U

auf das Bild(f).

Wenn du zeigst das der Kern trivial ist hast du gewonnen
Ist

f

eine lineare

A

von

V

nach

W

so ist sie das auch von

V

nach im Bild

f;

da ja

f

trivialerweise surjektiv ist betrachtet als Abbildung auf ihr Bild

mac-user09 aktiv_icon

17:04 Uhr, 26.12.2012

Hi,

Danke für die Antwort.

kann ich nicht einfach sagen (glaube, das wurde in der Vorlesung mal erwähnt), dass bei lin.

A

. Surjektiv und injektiv gleich ist und daher der Kern 0 sein muss (vgl. Dimensionsformel).

Und nun weiter?
Geht das überhaupt so?

Dieses allg. Zeigen von irgendwas macht mir immer wieder Probleme...

Gruß
Mac

HenriLeon aktiv_icon

18:38 Uhr, 26.12.2012

Ich muss gestehen ich hab den ersten Teil der Angabe übersehen - die Antwort bezog sich auf den 2.Teil -

Bei dem Lemma injektiv <->surjektiv musst du die Voraussetzungen betrachten.
Unter Verwendung der Dimensionsformel sieht man das sie zutreffen. Dann musst du also noch zeigen das

f : U \to f (V)

surjektiv oder injektiv ist.

Surjektivität gilt zunächst nur für

f : V \to f (V)

Daher musst du noch zeigen das schon

f : U \to f (V)

surjektiv ist - also das f(U)=f(V)=Bild

f

Also musst du zeigen: Ist

x \in f (V)

so ist

x

auch in

f (U) :

x \in f (V) \to x = f (v) = f (a_{1} \cdot v_{1} + ... . a_{n} \cdot v_{n}) = a_{1} \cdot f (v_{1}) + ... . . a_{k} \cdot f (v_{k}) + a_{k + 1} \cdot f (v_{k + 1}) + ... a_{n} \cdot f (v_{v})

michaL aktiv_icon

09:32 Uhr, 28.12.2012

Hallo,

also, dass die induzierte Abbildung surjektiv ist, hat dir HenriLeon ja schon mitgeteilt, auch, dass es also nur noch darum geht, ob die induzierte Abbildung injektiv ist, da sie die Linearität erbt.

Nimm doch mal ein Element aus

U

her, etwa

x \in U

mit der Eigenschaft

f (x) = 0

.
Nun verwende die einzige Info, die du über

x

hast! Nämlich die, dass es Element von

U

ist.
Bedenke, dass es Informationen zum Kern von

f

gibt.

Mfg Michael

mac-user09 aktiv_icon

10:29 Uhr, 28.12.2012

Ja, danke für die Antworten.

Ich glaube, das es jetzt einigermaßen klar geworden ist.

Gruß
Mac

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