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Wie wird der Bias eines Schätzers berechnet?

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Bias, Schätzfunktion, Stochastik, Zufallsvariablen

Klausi123 aktiv_icon

10:54 Uhr, 03.01.2015

Hallo,

kann mir jemand sagen wie der Bias berechnet wird? Was der Bias aussagt ist mir bewusst, jedoch verstehe ich die Formel nicht:

Bias(θdach) = E(θdach) - θ

θdach ist der Schätzer, dann muss ja θ der wahre Parameterwert sein. Also subtrahiere ich vom Erwartungswert des Schätzers den wahren Parameterwert? Aber den wahren Parameterwert habe ich doch eigentlich gar nicht gegeben oder sehe ich das falsch? Hätte ich ihn gegeben, bräuchte ich ja keinen Schätzer.

Kann mir da jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:38 Uhr, 03.01.2015

"Aber den wahren Parameterwert habe ich doch eigentlich gar nicht gegeben oder sehe ich das falsch?"

Das siehst Du im Prinzip richtig, Du übersiehst nur, das Bias ein theoretischer Wert ist, kein Wert, den man von einer Stichprobe ausgehend berechnen kann. Also ist Bias im Endeffekt genauso wenig "gegeben" wie der Parameter selber und wie der Erwartungswert des Schätzers auch (diesen Erwartungswert kann Du auch nicht von der Stichprobe berechnen).

Klausi123 aktiv_icon

13:26 Uhr, 03.01.2015

Ich kann den Bias also nur ermitteln, wenn ich die Grundgesamtheit vorliegen habe und nicht nur eine Stichprobe?

Im Anhang mal eine Aufgabe die ich versuche zu lösen.

Der Bias berechnet sich ja wie schon gesagt mit:

(θ

dach)

= E (θ

dach)

- θ

Ich benötige also zunächst den Erwartungswert meines Schätzers. Da es sich hier um eine Binomialverteilung zu handeln scheint, ist der Parameter dieser Verteilung

= π

. Der Schätzer dieses Parameters ist

\frac{x}{n},

also die Anzahl der beobachteten Erfolge durch

n

. Also ist mein Schätzer

= \frac{2}{20} = \frac{1}{10}

. Ist

\frac{1}{10}

dann auch zugleich mein Erwartungswert? Den berechne ich ja

E (X) = x 1_{}

P (X = X_{1}) + x_{2}

P (X = x_{2}) + . .

+ X_{n}

P (X = X_{n})

Von

E (X)

muss ich dann noch den wahren Parameterwert abziehen, also den Wert von

π

. Dies wäre ja dann

\frac{1}{10}

weil es

20

Versuche gab und 2 Erfolge. Ist das soweit korrekt?

DrBoogie aktiv_icon

13:57 Uhr, 03.01.2015

"Ist das soweit korrekt? "

Nein. Wie ich schon sagte: Stichprobe hat überhaupt keinen Einfluss auf die Berechnung von Bias. Daher kann man die Werte aus der Stichprobe auch nicht nutzen.
Ich habe leider keine Zeit jetzt, dies ausführlicher zu erklären, vielleicht am Abend.

DrBoogie aktiv_icon

18:48 Uhr, 03.01.2015

In Wirklichkeit brauchst Du nur den Erwartungswert von

E (\frac{x}{n})

zu berechnen und das geht direkt:

E (\frac{x}{n}) = \frac{1}{n} E (x) = \frac{1}{n} (n π) = π

, dabei ist die Tatsache benutzt, dass

x

binomialverteilt ist.

Klausi123 aktiv_icon

20:49 Uhr, 03.01.2015

Vielen Dank, kannst du mir noch kurz erläutern, wie du von

E (\frac{x}{n})

auf

\frac{1}{n} E (x)

und dann auf

\frac{1}{n} (n \cdot π)

kommst?

Mir ist klar, dass

E (x)

bei einer Binomialverteilung durch

n \cdot π

berechnet wird.

E (\frac{x}{n})

ist denke ich nur umgeschrieben zu

\frac{1}{n} E (x)

. Woher das

π

herkommt, weiß ich auch nicht wirklich.

DrBoogie aktiv_icon

21:03 Uhr, 03.01.2015

Erwartungswert hat die Eigenschaft

E (a X) = a E (X)

für eine beliebige Zahl

a

.
In diesem Fall ist halt

a = \frac{1}{n}

.

Und

E (x) = n π

, weil

x

binomialverteilt ist, mit dem echten Parameter

π

. Den wir nicht kennen, aber auch nicht zu kennen brauchen.

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