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Wie zeige ich, dass P ein Dirac-Maß ist?

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Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

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21:45 Uhr, 14.11.2017

Sei

(Ω; P)

ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, so dass

P (A) \in {0,1}

für alle für alle

A \subseteq Ω

gilt. Zeigen Sie, dass

P

ein Dirac-Maß ist, dass es also ein

ω \in Ω

gibt, so dass

P (A) = 1,

falls

ω \in A

bzw.

0,

falls

ω \notin A

für alle

A \in Ω

gilt.

Hallo, Ich bräuchte mal eure Hilfe. Ich habe keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll bzw. wie ich nachweise, dass es sich hierbei um ein Dirac-Maß handelt.

Für allerlei Denkanstöße und sonstige Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Grüße

DrBoogie aktiv_icon

21:48 Uhr, 14.11.2017

Betrachte alle einelementigen Teilmengen von

Ω

, also alle Teilmengen der Form

{ω}

. Was kann man über

P ({ω})

sagen?

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21:57 Uhr, 14.11.2017

Hallo DrBoogie,

P (ω)

ist ein W-Maß. Dementsprechend müsste für

P

die Nichtnegativität, Normiertheit und Additivität gelten. Ich habe mir überlegt, ob ich dieses Problem vielleicht mithilfe der Additivität lösen kann bzw. indem ich eine Menge

B

einführe und dann eine Fallunterscheidung durchführe.

DrBoogie aktiv_icon

22:03 Uhr, 14.11.2017

Viel zu kompliziert, denk einfacher. Es ist doch gegeben, dass

P (A)

für alle Teilmengen entweder

0

oder

1

ist. Also

P ({ω})

kann auch nur

0

oder

1

sein.
Nächste Frage: für wie viele von

{ω}

kann die W-keit 1 sein?

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22:10 Uhr, 14.11.2017

Nach Aufgabenstellung ist die Wahrscheinlichkeit 1 für alle

ω \in A

. Also müssten es ja |A|-Elemente sein.

DrBoogie aktiv_icon

22:14 Uhr, 14.11.2017

"Nach Aufgabenstellung ist die Wahrscheinlichkeit 1 für alle ω∈A."

Das ist ganz klar nicht möglich. Wenn

P ({ω_{1}}) = 1

und

P ({ω_{2}}) = 1

, dann

P ({ω_{1}, ω_{2}}) = 2

- was natürlich Unsinn ist.
In der Aufgabenstellung steht: Wahrscheinlichkeit 1 ODER 0 für alle Teilmengen

A

. Und nicht für alle

ω \in A

, das würde keinen Sinn ergeben. Bitte aufmerksam lesen.

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22:19 Uhr, 14.11.2017

Versteh ich das richtig, dass dann nur ein Element aus A die Wahrscheinlichkeit 1 haben kann?

DrBoogie aktiv_icon

22:23 Uhr, 14.11.2017

Ja, das verstehst Du richtig.
Der korrekte Beweis sieht so aus:

P (A) \in {0, 1}

für alle

A

, also insbesondere

P ({ω}) \in {0, 1}

für alle

ω \in Ω

.
Wären alle

P ({ω}) = 0

, so wäre

P (Ω)

als Summe davon auch

0

- unmöglich. Daher gibt's mindestens ein

ω_{0}

mit

P ({ω_{0}}) = 1

. Das bedeutet aber, dass für alle andere

ω

muss

P ({ω}) = 0

gelten, sonst hätte man eine Teilmenge mit W-keit =2.

Numerus-naturalis aktiv_icon

22:26 Uhr, 14.11.2017

Ahhh, wenn es nur ein Element mit der Wahrscheinlichkeit 1 gibt, dann macht das alles ja irgendwie Sinn. Danke für die Hilfe DrBoogie!

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