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Wie zeige ich ob Unterraum?

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Teilmengen, Teilraum, Vektorraum, Zahlenfolgen

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10:29 Uhr, 06.12.2015

Hallo Community,
ich habe in dieser Übungsserie zu zeigen ob eine Menge

U

eine Teilmenge meines Vektorraumes ist.
Leider habe ich absolut keinerlei Ahnung wie ich das vernünftig zeige. An einem allgemeinen Beispiel mit nem Vektor in

z . B

R^{3}

ist das nicht das Problem, da kann ich ja anhand der Definitionsvorschrift sehen ob das Ergebnis meiner Berechnung immer noch im vordefinierten Teilraum ist.

Im Anhang habe ich die Aufgaben mal angehangen, ich wäre sehr dankbar wenn ihr mir einen Denkanstoß gebt.

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:56 Uhr, 06.12.2015

Auch hier musst Du nur zeigen: 1.

u, v \in U

u + v \in U

, 2.

u \in U

a \in ℝ

a u \in U

. Und 3. nichtleer, das ist meistens offensichtlich.
Oder halt zeigen, dass 1. oder 2. nicht immer erfüllt sind - mit einem Gegenbeispiel.

Z.B. i)
1.

u = (x_{i}), v = (y_{i}) \in U

\exists M_{1}, M_{2}

, so dass

∣ x_{i} ∣ \leq M_{1}

∣ y_{i} ∣ \leq M_{2}

für alle

i

∣ x_{i} + y_{i} ∣ \leq ∣ x_{i} ∣ + ∣ y_{i} ∣ \leq M_{1} + M_{2}

(x_{i} + y_{i}) = (x_{i}) + (y_{i}) = u + v \in U

.
2.

u = (x_{i}), a \in ℝ

\exists M

, so dass

∣ x_{i} ∣ \leq M

für alle

i

∣ a x_{i} ∣ = ∣ a ∣ ∣ x_{i} ∣ \leq a M

(a x_{i}) = a (x_{i}) = a u \in U

und 3.

U

nichtleer, weil Z.B. die Nullfolge drin liegt.
Also, ein Unterraum.

Usw.

Sonst suche hier in Forum - es gab nur letzten Monaten Dutzende von ähnlichen Aufgaben.

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11:17 Uhr, 06.12.2015

Hallo Dr. Boogie, jetzt habe ich wenigstens mal einen Ansatz was ich da überhaupt machen muss... verstehen tue ich das aber irgendwie immer noch nicht, wieso du diese Folgerungen ziehen kannst usw usf.
Ich habe jetzt auch keinerlei Ansatz wie ich die

2, 3

oder 4 zeigen soll, da mir dieses Prinzip irgendwie immer noch nicht einleuchtet.
Da steh ich echt absolut auf dem Schlauch

- . -

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11:19 Uhr, 06.12.2015

Ich wie kann ich Dir helfen?
Hast Du schon zumindest nach ähnlichen Beispielen gesucht?

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11:24 Uhr, 06.12.2015

Ja wie gesagt - Wenn ich

z . B

. im

R^{3}

bin und dann entsprechend die Definitionsvorschriften habe sehe ich ja ob ein Vektor raus fliegt oder nicht, aber hier komme ich irgendwie nicht zurecht damit, dass ich jetzt auch noch irgendwelche Bedingungen mit zeigen soll.
Magst du mir einen Ansatz für

2, 3

und 4 mitgeben?

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11:31 Uhr, 06.12.2015

Du musst einfach lernen, abstrakter zu denken. Mathematik ist Abstraktion.

In der Aufgabe i) sind Vektoren unendliche Folgen:

(x_{i}) = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . .)

.
Und die Bedingung daran, dass eine Folge in

U

ist, ist einfach, dass alle

x_{i}

durch eine feste Zahl begrenzt sind, egal durch welche. So liegt z.B. die konstante Folge

(3, 3, 3, . . .)

U

, weil für sie

∣ x_{i} ∣ \leq 3

für alle

i

. Auch die Folge

(- 2, 4, - 2, 4, - 2, 4, . . .)

liegt in

U

, hier gilt

∣ x_{i} ∣ \leq 4

. Aber die Folge

(1, 2, 3, 4, 5, . . .)

liegt nicht in

U

, denn hier sind

x_{i}

durch keine Zahl begrenzt.
Wenn Du jetzt

u, v \in U

u + v \in U

prüfst, dann geht es einfach darum, dass Summe von zwei beschränkten Folgen wieder beschränkt ist, was eigentlich ziemlich offensichtlich ist.

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11:38 Uhr, 06.12.2015

ii) geht analog zu i).
Hier geht es darum zu zeigen, dass die Folgen, die nur an endlich vielen Stellen nicht

0

sind, einen Unterraum bilden. Hier ist es wieder recht klar, dass z.B. die Summe von zwei solchen Folgen wieder nur endlich viele nicht-null Stellen haben kann. Multiplikation mit

a

ist sogar noch einfacher.

In iii) is es nur ein Unterraum, wenn

a = 0

. Denn sonst liegt der

0

-Vektor (also ein Nullfolge) nicht in

U

, und

0

muss immer in einem Unterraum liegen.

iii) mit

a = 0

und iv) sind Unterräume, sie sind leider etwas schwieriger mit Worten zu beschreiben, aber der Beweis geht wieder wie immer, z.B. bei iv) Addition:

u = (x_{i}), v = (y_{i}) \in U

x_{i + 2} = x_{i + 1} + x_{i}

und

y_{i + 2} = y_{i + 1} + y_{i}

für alle

i

x_{i + 2} + y_{i + 2} = x_{i + 1} + y_{i + 1} + x_{i} + y_{i}

(x_{i} + y_{i}) = u + v

liegt in

U

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11:40 Uhr, 06.12.2015

Würde dsa mit der Folge

(1, 2, 3, 4, ...)

nicht heißen, dass

i)

falsch wäre? Oder missverstehe ich das mit dem beschränkt sein?

Demnach wäre die ii) ja schon durch die Definitionsvorschrift gegeben, da wir eine endliche Folge haben kann es auch nur endlich viele

x

geben, die

\neq 0

sind, oder kann man das nicht "so einfach" sagen?

Ferner wäre bei der iii) die Sache, dass das

a)

so gewählt werden könnte dass wir unsere endliche Zahlenfolge erweitern und demnach nicht mehr in der endlichen Folge drinnen sind, wenn

a \neq 0

ist, oder versthe ich das falsch?

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11:46 Uhr, 06.12.2015

Sorry, aber ich verstehe überhaupt nicht, was Du meinst.

"Würde dsa mit der Folge (1,2,3,4,...) nicht heißen, dass i) falsch wäre?"

Was wäre falsch? Welche Aussage?

"Demnach wäre die ii) ja schon durch die Definitionsvorschrift gegeben"

Was wäre gegeben?

"Ferner wäre bei der iii) die Sache, dass das a) so gewählt werden könnte dass wir unsere endliche Zahlenfolge erweitern und demnach nicht mehr in der endlichen Folge drinnen sind, wenn a≠0 ist, oder versthe ich das falsch?"

Wie erweitern? Wozu? Was willst Du damit zeigen?

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11:49 Uhr, 06.12.2015

Ich glaube dass ich diese ganze Abstraktion und die Art des Beweises irgendwie noch nicht verdaut habe. Hast du dazu vielleicht irgendwelches Lernmaterial?

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11:57 Uhr, 06.12.2015

Da ist Dein aktuelles Niveau schwer einschätzen kann, weiß ich auch nicht, wo Du starten solltest. Konkret über Vektorräume gibt's genug Infos im Netz, aber nur Du kannst etwas für Dich Passendes finden, denke ich. Such nach "Vektorräume Beispiele".

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11:59 Uhr, 06.12.2015

Heyho,
wie gesagt, vorstellen kann ich mir das Ganze ohne Probleme wenn wir

z . B

R^{3}

haben und daraus eine Ebene nehmen. Dass das ein Untervektorraum ist, das ist mir schon bewusst, allerdings leuchtet mir das mit der Zahlenfolge an der Stelle nicht ein. Ich versuch mal schlau draus zu werden, danke dir auf jeden Fall!

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12:14 Uhr, 06.12.2015

Hallo Dr. Boogie,
ich habe mal versucht mich jetzt ein bisschen darein zu denken und mich an die 2. gesetzt.
Um mir das vorzustellen habe ich mir überlegt, dass wir die Zahlenfolge für

j = 3

fest setzen.
Um das an der Addition zu zeigen, habe ich folgendes gemacht (und hoffe dass es stimmt):

1.

u = [x 1, x 2, x 3], v = [y 1, y 2, y 3]

∈

U

\Rightarrow [x 1, x 2, x 3] + [y 1, y 2, y 3] = [x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3]

\Rightarrow (u + v) = (u) + (v) \Rightarrow u + v

∈

U

Wäre das so formal richtig? Ich sehe ja, dass 2 endliche Folgen wieder eine endliche Folge heraus bringen, und die Folge nicht größer wird. Oder habe ich hier immer noch einen Denkfehler?

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12:19 Uhr, 06.12.2015

"Ich sehe ja, dass 2 endliche Folgen wieder eine endliche Folge heraus bringen, und die Folge nicht größer wird."

Wie sollte sie denn größer werden, wenn Du nur drei Stellen hast? :-O

Ich glaube nicht, dass dieses Beispiel Dich an die Aufgabe näher bringt.
Nimm lieber zwei konkrete Folgen aus dem "richtigen"

U

und überlege, warum ihre Summe auch in

U

liegt.

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12:22 Uhr, 06.12.2015

Also habe ich die 2 wieder falsch verstanden

: - (

?
Wir haben doch eine endliche Folge und addieren zu dieser eine endliche Folge, wodurch es ja auch nur endlich viele Stellen mit xj

\neq 0

gibt, oder wie ist das gemeint?
Oder anders: Kannst du mir mal ein Beispiel für zwei konkrete Folgen machen, damit ich mir das irgendwie erstmal nicht abstrakt vorstellen kann?

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12:28 Uhr, 06.12.2015

Wir haben unendliche Folgen, wo nur endlich viele Stellen nicht Null sind.
Z.B.

(0, 1, 3, 0, 4, 0, 2, 0, 0, 0, 0, . . . . .)

.
Wie würdest Du sonst endliche Folgen unterschiedlicher Längen miteinander addieren wollen?

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12:31 Uhr, 06.12.2015

Das ist ne berechtigte Frage, deshalb war ich ja auch etwas verwundert.
Wenn wir jetzt aber eine unendliche Folge mit

z . B

(0, 1, 1, 0, 5, 7, 0, ...)

mit einer Folge addieren, die

(1, 1, 1, 1, ...)

hat, dann hätten wir doch eine Folge in der nicht endlich viele, also unendlich viele Stellen, nicht 0 sind?

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12:32 Uhr, 06.12.2015

Aber die Folge

(1, 1, 1, . . .)

liegt nicht in

U

, also warum nimmst Du sie?

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12:33 Uhr, 06.12.2015

Achja... Das ist jetzt die Definitionsvorschrift von

u,

dass ein xj aus

U

nur endlich viele Stellen

\neq 0

hat, richtig?

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12:35 Uhr, 06.12.2015

Genau

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12:40 Uhr, 06.12.2015

Ahh super, dann fällt der Groschen doch ein wenig. Demnach hat eine Folge immer endlich viele Stellen

\neq 0

und unendlich viele Stellen

= 0,

wodurch ja sowieso wieder eine Folge entsteht in der es wieder unbegrenzt viele Nullen, aber nur begrenzt viele Zahlen ungleich 0 gibt, richtig?
Um mein Verständnis zu guter Letzt zu überprüfen nochmal ein Beispiel, ob ich das richtig aufgefasst habe:

xj

= (1, 1, 0, 0, 0, ...)

= (0, 0, 1, 1, 0, ...)

Demnach wäre xj

+

yj
zj

= (1, 1, 1, 1, 0, 0, ...)

Wodurch wir wieder begrenzt viele Stellen haben die ungleich 0 sind aber unbegrenzt viele Stellen die gleich 0 sind.
Ist die Überlegung richtig?

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12:44 Uhr, 06.12.2015

Ja, jetzt richtig.

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12:45 Uhr, 06.12.2015

Super, dann scheine ich das ja wohl verstanden zu haben.
In Worten könnte ich das jetzt zeigen, aber wie zeige ich das ganze mit Hilfe von der Addition und Multiplikation?
In Worten ist das ja "ziemlich leicht" auszudrücken.

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12:50 Uhr, 06.12.2015

Formal kannst Du das so ausdrücken:

(x_{i})

hat nur endlich nicht-null Stellen <=>

\exists i_{0}

, so dass

x_{i} = 0

für

i > i_{0}

. Bei

(y_{i})

hast Du dann

y_{1}

, so dass

y_{i} = 0

für

i > i_{1}

. Ab welchem

i

ist dann garantiert

x_{i} + y_{i} = 0

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13:00 Uhr, 06.12.2015

Zu dem

i 0

und

i 1,

könnte man das nicht auch mit

i 0

und

j 0

schreiben?
Demnach wäre die Bedingung dass

x i 0 = y j 0

und

i 0 = j 0

ist, wenn ich das mit dem aufgeschriebenen gerade richtig verstehe.
Also - Ich würde mir das so vorstellen:

x i = (7, 0, 0, ...)

y j = (3, 0, 0, ...)

Die 7 und 3 mal zufällig gewählt, aber dadurch könnte ich ja durch ein vielfaches von

x

und ein vielfaches von

y

mein

(0, 0, ...)

darstellen.
Oder irre ich wieder im dunkeln?

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13:05 Uhr, 06.12.2015

Ne, das sieht für mich ziemlich sinnlos aus.

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13:07 Uhr, 06.12.2015

Dann scheine ich deine Schreibweise nicht verstanden zu haben. Ich verstehe nicht warum das

i 0

bei

X

und das

i 1

bei

Y

da steht

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13:16 Uhr, 06.12.2015

Eine Folge hat endlich viele nicht-null Stellen genau dann, wenn ab einer bestimmten Stelle immer nur

0

kommt. Diese Stelle ist für jede Folge anders.
Z.B. für

(1, 0, 3, 4, 0, 0, 0, . . .)

ist diese Stelle

5

, denn ab der

5

. Stelle sind alle Einträge

0

. Also ist für diese Folge

i_{0} = 5

. Und für

i \geq i_{0}

gilt für diese Folge

x_{i} = 0

.
So ist

i_{0}

gemeint.
Wenn ich jetzt zwei Folgen,

(x_{i})

und

(y_{i})

habe, dann habe ich auch für jede von beiden eigene Stelle, ab welcher alles

0

wird. Daher brauche ich zwei Indizes,

y_{0}

und

y_{1}

, damit ich unterscheiden kann.

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13:20 Uhr, 06.12.2015

Okay.
Naja dann ist die restliche Folge nach

x i 0 + y i 1 = 0

ab der Stelle des größeren

i

der beiden.

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13:20 Uhr, 06.12.2015

Okay.
Naja dann ist die restliche Folge nach

x i 0 + y i 1 = 0

ab der Stelle des größeren

i

der beiden.

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13:55 Uhr, 06.12.2015

Das schreibt man so:

x_{i} + y_{i} = 0

für

i \geq max {i_{0}, i_{1}}

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14:03 Uhr, 06.12.2015

Ok gut, ich habe daraus jetzt einen kleinen Textbeweis gemacht. Mal sehen ob ich die Punkte dafür bekomme.
Ich danke soweit ganz herzlich, jetzt hab ich wenigstens mal ein wenig verstanden wie das ganze mit den Def. Vorschriften usw funktionopelt.

Dann noch einen schönen Nikolaus :-)

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