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Wieso ist f(x) = x³ streng monoton steigend?

Universität / Fachhochschule

Tags: streng monoton steigend

ana1234 aktiv_icon

11:33 Uhr, 08.03.2018

Wieso ist

f (x) =

x³ streng monoton steigend?
denn

f' (0) = 0

und wenn ein efuntkion strneg monoton steigend sein soll dann mauss doch über all

f' (x) > 0

sein?!
Verstehe ich nicht!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

ermanus aktiv_icon

11:55 Uhr, 08.03.2018

Hallo,
die Aussage, die du im Kopf hast lautet:
Wenn

f^{ʹ} (x) > 0

für alle

x

, dann ist

f

streng monoton steigend.
Eine streng monoton steigende Funktion kann aber durchaus in isolierten (!)

x

-Werten die Steigung

f^{ʹ} (x) = 0

aufweisen.

f (x) = x^{3}

ist so ein Beispiel.

f

ist streng monoton steigend; denn sei

h > 0

. Dann gilt

f (x + h) - f (x) = 3 h ((x + \frac{h}{2})^{2} + \frac{h^{2}}{12}) > 0

.

Gruß ermanus

ana1234 aktiv_icon

17:32 Uhr, 09.03.2018

Danke für die rasche Atnwort,
doch da bleiben zwei fragen:

1 .)

wie kommst Du auf

3 h ({(x + \frac{h}{2})}^{2} + h \frac{2}{12}) > 0

. (sorry schlecht kopiert)

2 .)

Im Monotoniesatz steht aber nichts von Ausnahmen, wieso kann dann plötzlich doch gelten

f (x) = 0

?
Leider verstehe ich das nicht

: (

Gruß
Ana

rundblick aktiv_icon

17:41 Uhr, 09.03.2018

.
".. und wenn ein efuntkion strneg monoton steigend sein soll dann mauss .."

wau

\to f (x) = x^{3}

ist doch KEINE EXPONENTIALfunkrtion

- sondern eine ganz gewöhnliche Potenzfunktion

Empfehlung :
mach dich halt mal zu den beiden Begriffen kundig

.

ermanus aktiv_icon

17:42 Uhr, 09.03.2018

Der Satz sagt sicher z.B. für Intervalle

I

, also z.B. auch für

I = ℝ

(\forall x \in I : f^{ʹ} (x) > 0) \Rightarrow f

ist streng monoton wachsend.

Da steht aber "

\Rightarrow

" und nicht

\overset{}{\Leftrightarrow}

".

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

17:52 Uhr, 09.03.2018

Was den "komplizierten" Klalmmerausdruck anbetrifft:
Rechne doch

f (x + h) - f (x)

einfach aus:

f (x + h) - f (x) = (x + h)^{3} - x^{3} = 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} = 3 h (x^{2} + x h + \frac{h^{3}}{3}) =

Jetzt quadratische Ergänzung:

= 3 h ((x + \frac{h}{2})^{2} - \frac{h^{2}}{4} + \frac{h^{2}}{3}) = 3 h ((x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{h^{2}}{12})

.
Und das ist doch offenbar

> 0

, oder?

ana1234 aktiv_icon

11:00 Uhr, 10.03.2018

Wow Ermanus,
das hast Du super erklärt,
also gilt nicht der Rückschluss (kommt so etws ncoh öfters vor, normal geht doch so eine Aussage immer in beide Richtungen)
Jetz habe ich es endlich verstanden, bin echt froh!
Und das mit dem komplizierten Ausdruck ist ja echt einfach, echt dumm von mir, dass ich mir nicht die Zeit genommenhabe un einfach ein gesetzt!!
Also vielen Dank Dir!
(Dein Name erinnert mich an die Emmaus jünger aus dem Ostergarten...)
LG
Ana

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