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Wo liegt der Fehler im Beweis?
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra
 
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Hallo, alle miteinander. Ich studiere Mathematik im 1. Fachsemester und habe eine Aufgabe auf einem wöchentlichen Arbeitsblatt des Moduls Lineare Algebra bei der ich mir ziemlich unsicher bin. Folgende Aufgabe: Beschreiben Sie möglichst präzise den Fehler in folgendem Beweisversuch der Aussage ”Jede Abbildung → zwischen endlichen Mengen und ist konstant”. Der Beweis erfolgt durch Induktion über die Elementanzahl ≥ 1 von X. Für ist die Aussage klar (Induktionsanfang). Für den Induktionsschritt von auf sei . . . , xn+1. Nach der Induktionsannahme sind die Einschr ̈ankungen von auf die n-elementigen Teilmengen {x1,...,xn} und {x2,...,xn+1} von konstant. Also ist konstant. Hier mein Versuch einer Lösung: Es ist klar, dass für Elemente von konstant ist. Also müsste ich ja daraus schließen, dass es auch für Elemente so wäre. Also betrachten wir mal und haben damit die Menge . Da auch eine endliche Menge ist, nehmen wir an . So. Nun gehen wir genauso vor, wie in der Aufgabe. Wir nehmen Menge und machen daraus zwei Teilmengen. Die erste muss Elemente haben und das n-te Element muss enthalten sein. Die zweite Teilmenge muss auch Elemente besitzen und das n+1-te Element enthalten. Bei wären das also und . Nun nehmen wir an, es gilt . Damit wäre bei dieser Teilmenge eine konstante Abbildung, da es ja nur ein Element in der Definitionsmenge gibt. Und wir nehmen an, es gilt . Auch hier wäre konstant. Aber damit ist letztlich immer noch nicht konstant für die Menge da ja dann gelten würde ungleich . Der Fehler liegt also meines Erachtens darin, zu glauben, dass auf der Gesamtmenge konstant ist, nur weil jeweils für diese 2 Teilmengen konstant ist. Ist meine Begründung logisch? Mir erschien diese Aufgabe eben bloß so simpel, obwohl die Übungsaufgaben immer so bockenschwer sind. Deswegen bekomme ich Zweifel, ob meine Begründung so einfach richtig ist. Ich würde mich sehr über eine Antwort eurerseits freuen und bedanke mich schonmal im Voraus. LG Leon Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, du hast es korrekt erfasst. Vielleicht enthält der Induktionsschluss die Argumentation, dass gilt. Diese würde den Schritt zwar vervollkommnen, wäre aber für eben immer noch nicht wahr. Mfg Michael |
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Das Ganze ist gleichbedeutend mit folgender schönen und leichter erklärbaren Geschichte: Alle Schachfiguren in einer Kiste haben die selbe Farbe. I.-Anfang: Eine Schachfigur hat die selbe Farbe wie sie selber. I.-Schluss: n Figuren in einer Kiste mögen laut Voraussetzung die selbe Farbe haben. Eine (n+1)-te Figur B soll dazukommen. Wir nehmen eine Figur A aus der Kiste und legen B hinein. Jetzt sind wieder nur n Figuren in der Kiste, die nach Voraussetzung alle die selbe Farbe haben. A hat auch diese Farbe und wird wieder in die Kiste zurückgelegt. Jetzt haben alle n+1 Figuren die selbe Farbe. Der Fehler liegt dort, wo von n=1 auf n=2 gesprungen wird. Wenn man A aus der Kiste nimmt, ist keine Figur mehr darin. Legt man nun B hinein, hat B die selbe Farbe wie B, aber nicht die selbe wie die anderen in der Kiste, weil es dort keine anderen gibt. |
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