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Wohlordnungseigenschaft von N
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Analysis, natürliche Zahlen, Wohlordnungseigenschaft
 
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Guten Tag, ich sitze nun schon seit einiger Zeit an folgender Aufgabe: Zeigen Sie, dass jede Teilmenge von \mathbb{N} ein kleinstes Element besitzt. Was zu zeigen ist, ist mir doch relativ klar, allerdings finde ich keinen so rechten Ansatz. Ich habe mir überlegt, dass man die Behauptung vielleicht über Induktion oder einen Widerspruchsbeweis zeigen könnte, allerdings fehlen mir da auch die Ansätze. Ich würde mich freuen, wenn mir die Leute, die mir helfen wollen, immer kleinere Tipps geben, wie ich denn meinen Beweis langsam aufziehen könnte, sodass der Lerneffekt nicht komplett verloren geht. Grüße Springer Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Die Frage ist, was für Axiome hast Du. Ist es in den Peano-Axiomen zu zeigen? |
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Hallo DrBoogie, erstmal danke, dass Du Dich meiner annimmst :-) Wir haben die Peano-Axiome im Rahmen von Induktionsbeweisen kennengelernt, in welchen wir gezeigt haben, dass wenn der Induktionsanfang für z.B. 1 gilt, man annimmt, dass die Behauptung für alle n gilt und dann die Korrektheit der Aussage für n+1 zeigt. Peano 5: Wenn 1.) 1 A 2.) n A impliziert (n+1) A dann ist A = Dieser Induktionsschritt ging bisher allerdings immer nur von n aufwärts. Ich hatte mir gedacht, dass man so eine Induktionsschritt auch in die entgegen gesetze Seite machen könnte und dann zeigt, dass dieser eben nicht für alle n-1 gilt, sondern nur solange, wie man dieses "kleinste Element" noch nicht erreicht hat. Grüße Springer |
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Nein, so formuliert reicht es nicht. Denn auch in gilt 1) 2) . |
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Dementsprechend ist es kein Wunder, dass Du dieses Axiom falsch zitierst. Prüfe, wie das 5. Axiom richtig lautet. Vergleiche hier: http//www.mathematik.ch/mathematiker/peano.php Und hier hast Du einige mögliche Beweise: http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=11241&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Furl%3Dhttp%3A%2F%2Fmatheplanet.com%2Fmatheplanet%2Fnuke%2Fhtml%2Fviewtopic.php%253Ftopic%253D11241%26rct%3Dj%26frm%3D1%26q%3D%26esrc%3Ds%26sa%3DU%26ei%3Dz6xYVP6eB5DSaIvAgqgL%26ved%3D0CBQQFjAA%26usg%3DAFQjCNE1C6CMTWcUj4GxYg5YFkRc4iqa-A |
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Hmm okay... Wenn ich nun Peano 4 nehme, das besagt: (P4) Es gibt keine natürliche Zahl deren Nachfolger 1 ist. Dann kann ich alle natürlichen Zahlen als Menge von betrachten, in der dann die 1 laut P4 das kleinste Element ist, da die 1 niemals Nachfolger einer Zahl ist. Dann habe ich auch den Zusatz, sodass dies für die ganzen Zahlen nicht gilt, denn die 1 ist in Nachfolger der 0. |
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