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Wozu sind Leslie Matrizen gut?

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Abi, Abitur, leslie, Leslie Matrix, Leslie-Modell, lesliematrix, Lineare Algebra, Matrix, Matrixdarstellung, matriz, Matrizenrechnung, Population, Populationmatrix, Vektor

Kisaa aktiv_icon

20:15 Uhr, 29.05.2013

L e s l i e - M a t r i x

Hey, Ich brauche dringend Hilfe!

Ich muss morgen meine Dokumentation für meine mündliche Prüfung in Mathe abgeben.
Die Aufgabe ist sehr frei gestellt...

- Ich soll den Aufbau einer Leslie-Matrix beschreiben
- Die Bedeutung für die Entwicklung eines Populationsmodells beschrieben
- Ein selbst gewähltes Populationsmodell erstellen
- Aussagen über das Langzeitverhalten machen

Wir hatten es noch nie im unterricht, im Mathe Buch finde ich nichts darüber und im Internet gibt es fast nur englisch Seiten darüber.

Ich erwarte nicht, dass jemand eine komplette Lösung für mich bereit stellt, doch ich komme einfach nicht voran... Also könnte mir jemand erklären, wie eine Leslie-Matix aufgebaut wird und wozu diese genutzt wird?

Vielen Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

matheleia aktiv_icon

02:06 Uhr, 30.05.2013

Durch den Artikel in Wiki ist eine Leslie Matrix de.wikipedia.org/wiki/Leslie-Matrix eine kurz Beschreibung (Funktion) der Entwicklung der Anzahl der jeweils vorher festgelegten m-verschiedenen (Alters-)Klassen von Menschen zu einer beliebigen untersuchten Periode t.

Bsp. Ich lege 5 Klassen (Alter) von Menschen fest:
1, zwischen 0 und 25 Jahre -> Anzahl Menschen n_1=10 & Geburtenrate in % f_1=0,1
2, zw. 26 und 50 Jahre -> Anzahl Menschen n_2=20 & Geburtenrate in % f_2=0,1
3, zw. 51 und 75 Jahre -> Anzahl Menschen n_3=30 & Geburtenrate in % f_3=0,2
4, zw. 76 und 100 Jahre -> Anzahl Menschen n_4=10 & Geburtenrate in % f_4=0,1
5, zw. 101 und 125 Jahre -> Anzahl Menschen n_5=1 & Geburtenrate in % f_5=0,01

Geburtenrate 0,1 heißt, dass aus der Anzahl der betreffenden Gruppe, 10% (Babys) als neuer Startwert für die 1 Gruppe in der nächsten Periode gelten. Da unsere 1 Gruppe so ein hohes alter von 25 haben kann, bedeutet das zusätzlich, dass unsere Periode !!!25!!! Jahre dauert. Durch die Matrixmultiplikation wird hierbei aus jeder Gruppe die (Neugeborenen) in die 1 Gruppe Klassifiziert. Achtung: In der Neuen Periode sind nur noch die Neugeborenen aus der letzten Periode (vllt solltest du die 1 Gruppe besser auf Menschen zwischen 0 und 1 Jahr klassifizieren).

Sei noch der Anteil der Einzelpersonen, der von der Altersklasse x zur Altersklasse x+1 übergeht (überlebt) s_i, d.h. z.Bsp
Gruppe1, s_1=0,9
Gruppe2, s_2=0,9
Gruppe3, s_3=0,8
Gruppe4, s_4=0,5

wobei s_i immer kleiner gleich 1 und größer gleich 0.
Haben also bspw.: Bei Einsatz der Matrix zum Zeitpunkt t erhalten wir zum Zeitpunkt t+1 (nach Einsatz der Matrix) für die Gruppe 2, s_1*n_1 !!mehr!! Personen in der Gruppe 2 die aus der Gruppe 1 in die Gruppe 2 übergetreten sind.

Nun haben wir alle Zahlen und Fakten für die Matrix, es fehlen nur noch die Personen zum Zeitpunkt t=0,

Gruppe1, n_1=10
Gruppe2, n_2=5
Gruppe3, n_3=6
Gruppe4, n_4=8
Gruppe5, n_5=1

Was nun folgt ist die Matrixmultiplikation www.frustfrei-lernen.de/mathematik/matrizen-multiplizieren.html mit dem gerade beschriebenen Vektor der Personen zum Zeitpunkt 0 (10,5,6,8,1) mit unserer Leslie Matrix um die NEUEN WERTE bzw. die neuen Gruppen Werte (Anzahl der Personen) zum Zeitpunkt 1 zu erhalten.
Das selbe machen wir mit dem Vektor der Werte zum Zeitpunkt 1 und multiplizieren diesen wieder mit der Matrix um die Werte zum Zeitpunkt 2 zu erhalten .....usw..

Aussagen über das Langzeit Verhalten sind sicher interessant, es stellt sich die Frage, was bei unendlich häufigem Einsatz der Matrix passiert, oder was zum Zeitpunkt unendlich passiert. Das kommt ganz auf die Matrix an. Sollte die Matrix Nilpotent de.wikipedia.org/wiki/Nilpotente_Matrix sein, ist nach endlicher Zeit Schluss und wir erhalten nach endlicher Zeit den Nullvektor (0,0,0,0,0), also alle Personen sind verschwunden.

Alle Angaben ohne Gewähr, aber vllt hilft es dir.

Matlog aktiv_icon

23:01 Uhr, 04.06.2013

Also zu den Fixvektoren:

L \cdot \vec{a} = \vec{a}

(\begin{matrix} f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\ 0.7 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.6 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \\ A_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \\ A_{4} \end{matrix})

Jetzt erste Zeile auf beiden Seiten

A_{1}

abziehen, zweite Zeile

A_{2}

abziehen usw. Dadurch wird die rechte Seite

0,

was ich nicht mehr extra hinschreibe.

(\begin{matrix} f_{1} - 1 & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\ 0.7 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.9 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.6 & - 1 \end{matrix})

(Denke daran der Eintrag oben links bedeuted in den einzelnen Gleichungen

(f_{1} - 1) \cdot A_{1},

der unten rechts

- A_{4} .)

(Zweite Zeile)*

(f_{1}

-1)-(erste Zeile)*0.7 ergibt die neue zweite Zeile(der senkrechte Strich ist nur zur besseren Trennung der Einträge eingefügt):

(\begin{matrix} f_{1} - 1 & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\ 0 & - 1 \cdot (f_{1} - 1) - 0.7 \cdot f 2 | & - 0.7 \cdot f_{3} & - 0.7 \cdot f_{4} \\ 0 & 0.9 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.6 & - 1 \end{matrix})

- 1 \cdot (f_{1} - 1)

schreiben wir jetzt als

1 - f_{1}

.
Nun (dritte Zeile)*

(1 - f_{1} - 0.7 \cdot f_{2}

)-0.9*(zweite Zeile)

(\begin{matrix} f_{1} - 1 & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\ 0 & 1 - f_{1} - 0.7 \cdot f 2 | & - 0.7 \cdot f_{3} & - 0.7 \cdot f_{4} \\ 0 & 0 & - 1 \cdot (1 - f_{1} - 0.7 \cdot f_{2}) + 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3} | & 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{4} \\ 0 & 0 & 0.6 & - 1 \end{matrix})

- 1 \cdot (1 - f_{1} - 0.7 \cdot f_{2}) + 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3}

schreiben wir um in

- 1 + f_{1} + 0.7 \cdot f_{2} + 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3}

.
Zuletzt (vierte Zeile)*(-1+

f_{1} + 0.7 \cdot f_{2} + 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3}

)-0.6*(dritte Zeile)

(\begin{matrix} f_{1} - 1 & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\ 0 & 1 - f_{1} - 0.7 \cdot f 2 | & - 0.7 \cdot f_{3} & - 0.7 \cdot f_{4} \\ 0 & 0 & - 1 + f_{1} + 0.7 \cdot f_{2} + 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3} | & 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{4} \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \cdot (- 1 + f_{1} + 0.7 \cdot f_{2} + 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3}) - 0.6 \cdot 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{4} \end{matrix})

Unten rechts steht also

1 - f_{1} - 0.7 \cdot f_{2} - 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3} - 0.6 \cdot 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{4}

.
Dies muss 0 ergeben, damit eine stabile Verteilung (Fixvektor) existieren kann.

Matlog aktiv_icon

11:34 Uhr, 05.06.2013

Zur Schreibweise:
Die zweite Matrix von oben muss (wie alle weiteren Matrizen auch) mit dem Vektor

(\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \\ A_{4} \end{matrix})

(der zu bestimmende Fixvektor) multipliziert den Nullvektor ergeben. Dies ergibt das lineare Gleichungssystem. Das schreibt man oft kurz rechts mit den Nullen abgetrennt durch einen Strich (erweiterte Koeffizientenmatrix).
Die erste Zeile ergibt die erste Gleichung

(f_{1} - 1) \cdot A_{1} + f_{2} \cdot A_{2} + f_{3} \cdot A_{3} + f_{4} \cdot A_{4} = 0

zweite Zeile

0.7 \cdot A_{1} - A_{2} = 0

usw.

Wichtig ist die letzte Zeile der letzten Matrix unten:

(1 - f_{1} - 0.7 \cdot f_{2} - 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3} - 0.6 \cdot 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{4}) \cdot A_{4} = 0

Dieser riesige Ausdruck in der Klammer entscheidet das Langzeitverhalten der Population, und zwar vollkommen unabhängig vom Startvektor.
Ist dieser Ausdruck gleich Null, dann existieren (außer dem Nullvektor) noch weitere (unendlich viele) Fixvektoren und die Population bleibt nur dann stabil.
(Ein großer Startvektor führt zu einer größeren stabilen Population, ein kleinerer Startvektor zu einer kleineren stabilen Population.)

Also muss man für die langfristige Stabilität Werte für

f_{1}

bis

f_{4}

finden, so dass

f_{1} + 0.7 \cdot f_{2} + 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3} + 0.6 \cdot 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{4} = 1

.
Für

f_{1} + 0.7 \cdot f_{2} + 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3} + 0.6 \cdot 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{4} > 1

vermehrt sich die Population immer weiter, für

f_{1} + 0.7 \cdot f_{2} + 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{3} + 0.6 \cdot 0.9 \cdot 0.7 \cdot f_{4} < 1

stirbt sie aus.

Das könnte man sogar noch verallgemeinern, indem man statt

0.7, 0.9

und

0.6

s_{1}, s_{2}

und

s_{3}

schreibt.
Das wären dann Bedingungen für das Langzeitverhalten bei einer beliebigen Leslie-Matrix (der Dimension

4)

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