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Wurzeln aus negativen Radikanden

Schüler

Tags: Gültigkeit, Potenzgesetz

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07:52 Uhr, 26.04.2017

Hallo liebe Mathe-Asse,
ich habe eine Frage zu einer geradzahligen Wurzel aus einem negativen Radikanden. Zunächst denkt man, diese Wurzel hat in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung, weil aus jeder negativen Zahl eine positive wird, wenn man sie mit einem geraden Exponenten potenziert.
Schreibt man die Wurzel aber als Potenz mit gebrochenem Exponenten und wendet ein Potenzgesetz an, so scheint es, als ob diese Wurzel doch eine Lösung hat. Ich wähle als Beispiel die 2. Wurzel aus

(- 16)

. Sie hat mit Sicherheit keine Lösung in der Menge der reellen Zahlen.
Schreibt man sie aber als Potenz

{(- 16)}^{\frac{1}{2}}

und wendet dann ein Potenzgesetz an, so kommt man doch zu einer Lösung:

{(- 16)}^{\frac{1}{2}}

Exponent

\frac{1}{2}

mit 2 zu

\frac{2}{4}

erweitern:

{(- 16)}^{\frac{2}{4}}

Potenzgesetz anwenden:

{(- 16)}^{\frac{2}{4}} = {(- 16)}^{2 x \frac{1}{4}} = {({(- 16)}^{2})}^{\frac{1}{4}} = 256^{\frac{1}{4}}

Das Ergebnis ist jetzt die 4. Wurzel aus

256,

also 4.
Wie kann es sein, daß ein und dieselbe Aufgabenstellung zu 2 völlig verschiedenen Ergebnissen führt?
Wenn man die Aufgabe „ziehe die 4. Wurzel aus (-16)^2“ bekommt, welches ist dann das richtige Ergebnis? Ich würde dann sagen:“ Weil der Radikand

- 16

quadriert und somit positiv wird, kann man die 4. Wurzel ziehen und das Ergebnis ist 4.“
Gleichzeitig könnte man aber auch antworten:“ Zunächst kürze ich den Radikand-Exponenten gegen den Wurzelexponenten. So erhält man die Quadratwurzel aus –

16,

und das ist in der Menge

R

nicht lösbar“

Gelten die Wurzelgesetze nur für Wurzeln mit Radikanden, die größer oder gleich 0 sind?
Sind dann Terme wie die 4. Wurzel aus

{(- 16)}^{2}

nicht definiert?
Allerdings können auch Wurzeln aus negativen Radikanden Sinn machen,

z . B

. die 3. Wurzel aus

- 27

.
Der Taschenrechner berechnet ja auch die 3. Wurzel aus

- 27

und zeigt

- 3

an.
Da bin ich ja in ein schönes Schlamassel geraten.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

funke_61 aktiv_icon

08:16 Uhr, 26.04.2017

Hallo,
da noch niemand geantwortet hat:
In welche Klasse gehst Du?
habt Ihr schon komplexe Zahlen gehabt?
Falls ja, ist Dir beknannt, dass

\sqrt{- 1}

die "imaginäre Einheit"

i

ist?

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08:50 Uhr, 26.04.2017

www.matheboard.de/thread.php?threadid=577585&hilight=Potenzgesetze

Schlamassel aktiv_icon

17:12 Uhr, 26.04.2017

Hallo,

vielen Dank Euch beiden für Eure Antworten!

Nein, die komplexen Zahlen hatten wir noch nicht.

Was ich nicht verstehe: Bei dem Lösungsversuch dieser Aufgabe kommt man zu 2 völlig verschiedenen Antworten (entweder ist die Lösungsmenge die leere Menge oder die Lösung ist

4)

. Ich kann aber in beiden Antworten keinen Fehler finden.
Wie kann es sein, daß man bei ein und derselben Aufgabe zu 2 verschiedenen Lösungen kommen kann?

Im Forum Matheboard steht, daß die Potenzgesetze

i . a

. nicht für Potenzen mit gebrochenen Exponenten (also Wurzeln) in Kombination mit negativen Radikanden gelten.
Bedeutet das, daß man die beschriebenen Umformungen (Erweitern des Exponenten mit

2,

Anwenden eines der Potenzgesetze usw.) gar nicht durchführen darf? Demnach wäre die Lösung 4 falsch?

Viele Grüße

funke_61 aktiv_icon

18:22 Uhr, 26.04.2017

"Bedeutet das, daß man die beschriebenen Umformungen (Erweitern des Exponenten mit

2,

Anwenden eines der Potenzgesetze usw.) gar nicht durchführen darf? Demnach wäre die Lösung 4 falsch?"

So ist es. Die Gleichung

x = {(- 16)}^{\frac{1}{2}}

hat definitiv keine Lösungen in

ℝ

.

Merke Dir: Beim Quadrieren besteht immer die Gefahr, dass zusätzliche Lösungen entstehen, die in der ursprünglichen Aufgabe nicht enthalten sind.
;-)

Schlamassel aktiv_icon

11:17 Uhr, 27.04.2017

Hallo,

vielen Dank für Deine Antwort! Jetzt kommt endlich Licht in die Sache :-)

Was ich aber nicht verstehe ist, wo bei den Umformungen quadriert wird. Der Exponent von

- 16

wird von

\frac{1}{2}

mit dem Erweiterungsfaktor 2 zu

\frac{2}{4}

erweitert. Aber das ist doch etwas anderes, als wenn ich den Term

{(- 16)}^{\frac{1}{2}}

quadriere? Beim quadrieren von

{(- 16)}^{\frac{1}{2}}

müßte doch

{(- 16)}^{2 \cdot \frac{1}{2}} = {(- 16)}^{1} = - 16

herauskommen?

funke_61 aktiv_icon

12:18 Uhr, 27.04.2017

Du hast aber dein "hoch 2" durch dein Erweitern des Exponenten erzwungen und es anschließend auf die

(- 16)

losgelassen.
Klar, dass dies die Basis positiv macht !
;-)

Schlamassel aktiv_icon

14:25 Uhr, 27.04.2017

Ahhh...
jetzt hab ich's kapiert :-)

Vielen Dank!!!

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