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X,Y,Z der Ebene E mit den Koordinatenachen

Schüler

Tags: Analytische Geometrie, Ebenen im Raum, Vektorrechnung

traumusa aktiv_icon

10:05 Uhr, 04.03.2014

Gegeben ist Ebene

E : x = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

Wie lauten die Schnittpunkte

X, Y, Z

der Ebene

E

mit dn Koordinatenachsen?

Mein Ansatz für

X,

also wo die Ebene die

X

Achse schneidet:

(\begin{matrix} 0 \\ Y \\ Z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

Doch damit komme ich nicht weiter. Ist der Ansatz überhaupt richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Matlog aktiv_icon

10:11 Uhr, 04.03.2014

Nein, Dein Ansatz ist nicht richtig!

Kannst Du mir mal die Koordinaten von irgendeinem beliebigen Punkt auf der x-Achse nennen?

Respon

10:13 Uhr, 04.03.2014

Da gibt es mehrere Wege.

1)

Bringe die Ebenegleichung auf die parameterfreie Form ( also

a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d)

Für den Schnittpunkt auf der x-Achse gilt:

y = 0 \land z = 0

Führt man das in der Gleichung durch, so erhält man sehr schnell die x-Koordinate.
Analog für die anderen Achsen.

Respon

10:16 Uhr, 04.03.2014

2)

Eine zeilenweise Interpretation der Ebengleichung ergibt

x = 3 - 3 \cdot s

y = 2 - 2 \cdot r

z = 2 \cdot r + 2 \cdot s

Ist nun ( x-Achse ) jeweils

y = 0 \land z = 0,

so erhalten wir für

r

und

s

ein LGS, das wir bestimmen können.

traumusa aktiv_icon

10:18 Uhr, 04.03.2014

Entschuldigung, aber so ganz verstehe ich das noch nicht.

Was ist mit

Λ

gemeint?

Respon

10:23 Uhr, 04.03.2014

Das ist das "logische" Zeichen für "und gleichzeitig".
Als Ergänzung zur ersten Methode:
Für die Ebenegleichung gibt es auch die sogenannte Achsenabschnittsgleichung.
Bringt man die Ebenengleichung auf die Form:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

. .

. so entsprechen die Werte

a, b, c

den Achsenabschnitten

(=

die jeweilige Koordinate der relevanten Achse )

traumusa aktiv_icon

10:37 Uhr, 04.03.2014

Also:
Meine Koordinatengleichung ist

\frac{2}{3} X + Y + Z = 4

Ist jetzt also der richtige Ansatz

Y = 0

und

Z = 0

also

\frac{2}{3} X = 4

demnach

(6 | 0 | 0)

Respon

10:46 Uhr, 04.03.2014

Welche Methode verwendest du jetzt?
Die parameterfreie Ebenengleichung lautet

2 \cdot x + 3 \cdot y + 3 \cdot z = 12

\Rightarrow

\frac{x}{6} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1

(6 | 0 | 0)

ist korrekt

traumusa aktiv_icon

10:52 Uhr, 04.03.2014

Genau. Ich habe dann die parameterfreie Form benutzt.

Die anderen beiden Achsenschnittpunkte wären

P_{y} (0 | 4 | 0)

und

P_{z} (0 | 0 | 4)

Wenn ich nun zusätlich die Gerade

g

habe:

g : x = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

und nun die gegenseitige Lage von

g

und

E

ausrechnen muss?

Ich habe

g

und

E

gleichgesetzt, komme dabei jedoch auf keine Lösung, daher kann die Gerade ja nur noch windschief oder parallel zur Ebene sein? Wie finde ich das heraus?

Respon

10:59 Uhr, 04.03.2014

Wieder mehrere Möglichkeiten:

1)

Wir schneiden einfach die Gerade mit der Ebene ( geht mit der parametrfreien Form sehr einfach ) und interpretieren das Ergebnis:
genau ein Schnittpunkt
kein Schnittpunkt

\Rightarrow g | | ε

unendlich viele Schnittpunkte

\Rightarrow g \in ε

Respon

11:04 Uhr, 04.03.2014

Sorry - lese ich erst jetzt : eine Gerade kann nicht windschief sein ( nur zwei ).

2)

Ich analysiere vorher ( weil die Frage nach "Lage" immer verdächtig ist )

Normalvektor der Ebene

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

( leicht aus der Ebenengleichung ablesbar )
Richtungsvekto der Geraden

(\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = - 6 + 6 + 0 = 0

\Rightarrow g | | ε

Jetzt muss nur noch überprüft werden, ob "echt" parallel oder

g \in ε

traumusa aktiv_icon

12:38 Uhr, 04.03.2014

Genau das ist mein Problem, alles ist sonst klar, danke! :-)

Wie beweise ich jetzt dass sie parallel sind?

mit linerarer Abhängigkeit?

Also wie sähe mein Ansatz aus=

Femat aktiv_icon

17:10 Uhr, 04.03.2014

Der Aufpunkt der Geradengleichung erfüllt die Ebenengleichung nicht. Er macht sie zu

15

statt

12

. Also liegt Punkt

G

in meiner Graphik nicht in der Ebene.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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