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Z-Y-Z-Eulerwinkel

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08:02 Uhr, 05.09.2021

Guten Morgen zusammen,

ich habe eine Frage zur Berechnung des Winkels Alpha. Die Formel zur Berechnung des Winkels sowie die Matrix aus der die Werte zur Berechnung entnommen werden, habe ich angehangen,

Ich habe mit dem Komme zwischen

R 23

und

R 13

ein Problem. Ich kann ja nicht einfach in den Taschenrechner arctan 2(Wurzel2/2,0) eingeben und bekomme

90

Grad heraus.

Kann mir jemand sagen wie das richtig funktioniert.

Gruß

Christian

1 XX00-ROB-PK1-201212 1.2 Ausgangsmatrix

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

N8eule

08:45 Uhr, 05.09.2021

Hallo
Du lässt uns ja nicht allzuviel über die Zusammenhänge und Hintergründe wissen.
Die beste Vermutung, die du uns zu ahnen gibst, ist, dass du
arctan(

\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{w})

errechnen willst, wobei der Nenner

w

den Wert

w = 0

anstrebt oder annimmt.

Dass ein Bruch mit Nenner Null nicht definiert ist, dürfte ja hinreichend bekannt sein.
Du wirst also nicht nur wild in den Taschenrechner eingeben sollen, sondern auch ein bisschen Verständnis und Grenzwert-Bildung nutzen müssen.

Dass der Wert des Bruchs für

lim_{w \to 0} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{w}

gegen Unendlich strebt, sollte hinreichend bekannt sein.

Und - Empfehlung: Betrachte den Einheitskreis - dass der
arctan(

lim_{w \to 0} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{w}) =

arctan( "Unendlich" )
gegen

(z . B .)

90° strebt, sollte ebenso bekannt oder nachvollziehbar sein.

Roman-22

13:23 Uhr, 05.09.2021

>

Ich kann ja nicht einfach in den Taschenrechner arctan 2(Wurzel2/2,0) eingeben und bekomme

90

Grad heraus.

Sofern dein TR eine atan2 oder arctan2 Funktion hat, kannst du das sehr wohl. Die 2 ist da aber kein Faktor, sondern gehört zum Namen der Funktion (der Abstand im Bild zwischen arctan und 2 ist da eher kontraproduktiv und irritierend). Und die Funktion hat nicht ein, sondern zwei Argumente, die in deinem Screenshot eben durch ein Komma getrennt werden. Allerdings wird dein TR vermutlich nur die gewöhnliche arctan Funktion anbieten.
Nach deinem Screenshot liefert

a r c t a n 2 (y, x)

den

a r c t a n (\frac{y}{x})

für

x > 0,

berücksichtigt den Sonderfall

x = 0 (\to \pm \frac{π}{2})

und liefert für

x < 0

einen Winkel im zweiten oder dritten Quadranten.

Die atan2 Funktion ist in vielen Mathe-Programmen und auch Programmiersprachen realisiert, leider nicht immer einheitlich in der Syntax - man muss also aufpassen, in welcher Reihenfolge die beiden Argumente erwartet werden. Die Funktion berücksichtigt die speziellen Fälle, die es bei der Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten eben gibt und liefert je nach Implementation Winkel im Bereich

[0; 2 π)

oder aber auch in

(- π; π],

manchmal sogar

[- \frac{π}{2}; 3 \frac{π}{2}),

und nicht nur wie die arctan-Funktion in

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

.

Möglich aber, dass eine entsprechende Funktion doch in deinem TR versteckt ist, sofern er kartesischen in Polarkoordinaten umrechnen kann

(R \to P,

Rec2Pol,

x y \to r θ,

...die Bezeichnungen sind vielfältig) oder mit komplexen Zahlen umgehen kann.

Allerdings sollte man auch ganz ohne technische Hilfsmittel wissen, dass der Punkt

(0 / 2 \sqrt{2})

die Polarkoordinaten

(2 \sqrt{2}; \frac{π}{2})

hat bzw. dass

z = 0 + i \cdot 2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} ∠ \frac{π}{2}

ist.

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18:46 Uhr, 05.09.2021

Hallo Roman,

danke für deine Antwort :-)

Also wenn ich das richtig verstehe und ich möchte den arctan2 (Wurzel2/2,

0)

berechnen, dann kann ich das mit Komplexen Zahlen machen. Wurzel2/2 ist mein Imaginäranteil und 0 ist mein Realanteil.

Bis dahin habe ich es denke verstanden aber wir komme ich jetzt auf das Ergebnis mit den

90

Grad?

Gruß

Christian

PS Mein Taschenrechner kann kein arctan2 berechnen

Roman-22

20:35 Uhr, 05.09.2021

>

dann kann ich das mit Komplexen Zahlen machen. Wurzel2/2 ist mein Imaginäranteil und 0 ist mein Realanteil.
Ja, zumindest kann man das so interpretieren.

>

Bis dahin habe ich es denke verstanden aber wir komme ich jetzt auf das Ergebnis mit den

90

Grad?
na, am einfachsten, indem du dir den komplexen Zeiger in der Gaußebene vorstellst und feststellst, dass er senkrecht nach oben zeigt und daher mit der positiven reellen Achse den Winkel

90^{\circ}

einschließt.

Der Winkel, den du suchst, ist von der komplexen Zahl die Phase (=Argument, ="Winkel")
Eine komplexe Zahl kann man ja entweder durch Real- und Imaginärteil festlegen, oder aber durch Betrag und Phase

\to z = a + i \cdot b = r ∠ φ

Und für die Berechnung des Winkels

φ

bei bekanntem a und

b

gibt es eben eine Formel, welche ein paar Fallunterscheidungen beinhaltet:
Für

a > 0

ist

φ = a r c t a n \frac{b}{a}

Für

a < 0

ist noch

π

zu addieren

φ = a r c t a n \frac{b}{a} + π

Und für

a = 0

entscheidet das Vorzeichen von

b

φ = + \frac{π}{2}

oder

φ = - \frac{π}{2}

ist.
Für

a = b = 0

ist

φ

nicht definiert (auch wenn atan2(0,0) der Einfachheit halber da oft das Ergebnis 0 liefert).
Anschließend ist bei Bedarf der Winkel gegebenenfalls noch durch Addition oder Subtraktion von

2 π

in den gewünschten Bereich zu bringen.
Es sind auch andere Umrechnungsformel möglich, zB eine, die die

a r c c o s

-Funktion nutzt ( de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Von_der_algebraischen_Form_in_die_Polarform). Aber eine Fallunterscheidung ist auch hier zu berücksichtigen.

All diese Fallunterscheidungen nimmt einem die

a r c t a n 2

Funktion ab, wobei es sich dabei um keine genormte Funktion handelt (scheint in der ISO

80000 - 2

nicht auf), aber eine, die wie schon erwähnt in vielen Mathe-Programmen und Programmiersprachen zur Verfügung steht und zB auch in Excel verfügbar ist.
Oft gibts auch eine Funktion

a r g (. .)

die Äquivalentes leistet.
Mehr zur

a r c t a n

2-Funktion kannst du auch in der Wikipedia nachlesen. Allerdings wird dort eine andere Reihenfolge der Argumente verwendet als in deinem Text: de.wikipedia.org/wiki/Arctan2#Implementierungen

Taschenrechner (auch solche, die per se nicht mit komplexen Zahlen umgehen können) stellen oft eine Möglichkeit zur Verfügung, kartesiche Koordinaten

(a / b)

in Polarkoordinaten

(r; φ)

umzurechnen und du kannst auch diese verwenden, um den Winkel zu erhalten ohne dich mit den Fallunterscheidungen herumschlagen zu müssen. Näheres ist der Bedienungsanleitung zu deinem TR zu entnehmen.

Aber wie schon erwähnt solltest du für die konkrete Aufgabe kein Hilfsmittel benötigen um auf die

90^{\circ}

zu kommen.

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19:50 Uhr, 06.09.2021

Danke Roman mit der Gaußebene hat es bei mir echt klick gemacht :-)

Auch vielen Dank für die restliche ausführliche Antwort, super von dir das du dir dafür so viel Zeit genommen hast.

Gruß

Christian

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