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Zähldichte bestimmen

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Verteilungsfunktionen

Tags: reih, Verteilungsfunktion, Zähldichte

Monika-98 aktiv_icon

09:45 Uhr, 16.11.2022

Hallo alle,

ich sitze nun seit langem an der Aufgabe (siehe Anhang) und wäre demjenigen sehr dankbar, mir die Lösung der Aufgabe zu schreiben.
Zu Bestimmen ist die Zähldichte für das Ereignis B=ℕ ohne die Menge

{1}

.

Vielen Dank!

HAL9000

10:01 Uhr, 16.11.2022

Das Konstrukt

ℕ \cup {0}

sagt mir, dass bei euch

ℕ = {1, 2, 3, \dots}

gemeint ist, d.h., natürliche Zahlen sind OHNE Null gemeint. Ich betone das nur, weil das bisweilen auch anderes gesehen wird. Definieren wir abkürzend

ℕ_{0} := ℕ \cup {0}

die natürlichen Zahlen MIT Null.

Nun, wenn wir annehmen dürfen, dass

f

tatsächlich eine Zähldichte auf

ℕ_{0}

ist, dann gilt ja

P (ℕ_{0}) = \sum_{x \in ℕ_{0}} f (x) = 1

(lässt sich auch nachweisen, aber ist wohl nicht Bestandteil dieser Aufgabe). Infolge dessen ist

P (B) = P (ℕ \ {1}) = 1 - f (0) - f (1) (*)

,

denn

B

ist um genau diese beiden Werte 0 und 1 kleiner als die Gesamtmenge

ℕ_{0}

. Tja, und (*) solltest du ausrechnen können

P.S.: Es handelt sich hier um eine sogenannte "Negative Binomialverteilung", inklusive üblicher Parameterreihung

N B (3, \frac{1}{3})

(im Wikipedia-Eintrag als "Alternative Definition" zu finden).

Monika-98 aktiv_icon

10:12 Uhr, 16.11.2022

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Die Zähldichte ist in dieser Aufgabe definiert als die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis unendlich der natürlichen Zahlen ohne die Menge 1.

Ist die Wahrscheinlichkeit für

B (P (B))

nicht doch so hier

P (B) = 1 - P ({1})

?

Ihr Lösungsweg ist Jedoch

P ({B}) = 1 - P ({0}) - P ({1})

. Weshalb haben Sie die die Wahrscheinlichkeit für

P ({0})

subtrahiert?

HAL9000

10:23 Uhr, 16.11.2022

Hatte ich eigentlich schon erklärt, aber nochmal wiederholt:

Weil Wert 0 gemäß deiner Zähldichte ebenfalls eine positive Wahrscheinlichkeit aufweist, aber Wert 0 gar nicht zu

B

gehört. Wenn du nur die Wahrscheinlichkeit für 1 subtrahierst, berechnest du

P ({0, 2, 3, \dots})

statt des tatsächlich gesuchten

P ({2, 3, \dots})

Monika-98 aktiv_icon

10:23 Uhr, 16.11.2022

Ich muss ehrlich gestehen, dass ich die ganze Zeit versucht habe

f (0)

zu berechnen, was

\frac{1}{27}

ergibt und dann noch die Summe ab

f (2)

zu addieren.

Die Herausforderung bestand darin, die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ab

f (2)

zu berechnen.

Ihr Ansatz ist aber sehr viel einfacher. Vielen Dank !

Monika-98 aktiv_icon

10:27 Uhr, 16.11.2022

Achso, ja selbstverständlich. Sie haben recht.

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