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Zählen der Partitionen von [n]
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Rekursives Zählen
Tags: Binomialkoeffizient, Rekursives Zählen
 
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Stellen Sie eine (rekursive) Verbindungen her zwischen den (Mengen-)Partitionen von und Bei Untersuchungen habe ich entdeckt, dass man dafür erst die Anzahl der Partitionen von mit Blöcken kennen muss. Dazu definiere ich Anzahl der Partitionen von mit Blöcken. Meine Idee: Ich partitioniere die Menge dieser Partitionen in solche wo das Singleton vorkommt und solche Partitionen wo das Singleton nicht vorkommt. Warum? Denn dann kann ich die Summenregel anwenden und erhalte eine Rekursion. Also, ich stelle die Frage: In wie vielen Partionen finde ich dieses Singleton? Nun, dazu sehe ich mir alle Partitionen an wo es drinnen ist, nehme es heraus und übrig bleiben Partitionen mit Blöcken. Ich habe die Zahl in diesen Mengen nun auch aus den restlichen Blöcken entfernt (was ja die Anzahl der Partitionen wo das Singleton vorkommt nicht ändert). Dadurch verschwindet es nun auch aus der Grundmenge und wir haben und folglich ist die Zahl der Partitionen wo das Singleton vorkommt gleich Jetzt brauchen wir noch das Komplement dieser Menge, also wo das Singleton nicht vorkommt (jedoch das möglicherweise schon). Dazu nehme ich das Element ganz aus heraus und bilde alle Partitionen die daraus bildbar sind, jedoch nun mit Blöcken. Folglich lautet diese Anzahl . Aso müsste sein. Allerdings habe ich das Gefühl dass ich bei einem dieser Summanden einen wichtigen Vorfaktor vergessen habe, sehe aber momentan nicht wie dieser lauten könnte und bitte hier um einen Hinweis. Freue mich auf eure Tipps! =) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo Wenn nach der Menge aller Partitionen gefragt ist, warum dann erstmal die mit Partitionen. wenn ein Element dazu kommt, hast du doch einfachdoppelt so viele mögliche Partitionen? Gruß ledum |
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Hallo, wenn Du eine Partition von Blöcke hast, kannst Du daraus Partitionen von mit Blöcken bilden, je nachdem welchem der Blöcke Du das Element zuschlägst. Daher ein Faktor . Aber wie schon ledum gesagt hat: Die Fragestellung scheint anders. Gruß pwm |
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Hallo Ledum! Danke dir für deine versuchte Hilfe! Darf man dich fragen ob du dir wirklich zu 100% sicher bist ob dein Tipp stimmt? Ist es wirklich so einfach, mal 2? Der Grund für die Betrachtung der Blocks sei am folgenden Beispiel demonstriert: Lass uns dazu die Partitionen von betrachten: Wie kommen wir von den nun auf die Partitionen von ? Nun, in der ersten Partitionen gibt es ZWEI(!!) Möglichkeiten die neuen zu basteln, nämlich: und Dieses Muster ist auf ALLE Partionen anwendbar. Allgemein kann man also feststellen (sei dazu die Zahl der Partitionen von [n] Laut der These von Ledum müsste die Anzahl der Partitionen von 5*2=10 sein. Schreibt man sie jedoch auf bzw. fügt man die Zahl 4 systematisch in die vorigen Partitionen ein, so wird man eine Anzahl von 2+ 3 + 3 + 3+4 =15 feststellen. Das Problem meiner persönlichen Formel ist jedoch, dass sie von abhängt und ich sehe nicht, wie man dieses loswerden könne. Habt ihr da einen Tipp für mich? :-) |
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Hallo, wenn Du die Antwort der Literatur entnehmen willst, Sitchwort ist "Bellsche Zahlen" Wenn Du es selbst machen willst: Um eine Partition von zu konstruieren, wähle und eine Partition von . ergänzt um ergibt eine Partition von . Gruß pwm |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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