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Zahlen zerlegen

Schüler

Tags: Summand

Nullcheckerin aktiv_icon

13:15 Uhr, 21.01.2012

Hey,

ich bin mir bei diesen Modellieren Aufgaben nicht sicher

: S

a)

Die Zahl

100

soll in zwei nicht-negative Zahlen Summanden zerlegt werden, dass das Produkt, dieser Summanden möglichst groß bzw. möglichst klein wird.

vielleicht:

50 + 50 = 100,

weil

50 \cdot 50 = 2500

b)

Die Zahl

100

soll in zwei nicht-negative Summanden zerlegt werden, dass die Summe der Quadrate dieser Summanden möglichst klein bzw. möglichst groß wird.

vielleicht:

75 + 25 = 100,

weil 75²

+

25²

= 6250

c)

Die Zahl

100

soll in zwei positive Faktoren zerlegt werden, dass deren Summe möglichst klein wird.

12,5 \cdot 8 = 100,

weil

12,5 + 8 = 20,5

d)Lösen Sie die Aufgabe a bis

c

anstelle von

100

für eine beliebige positive Zahl.

Was wären eure Vorschläge?

Underfaker aktiv_icon

14:11 Uhr, 21.01.2012

a)

"möglichst groß bzw. möglichst klein" du benötigst also zwei Lösungen (genauso bei

b))

Ich stimme dir zu

50

und

50

ist die Lösung für das maximale Produkt.

Wie lautet die zweite Lösung?

b)

Da bin ich nciht einverstanden:

100^{2} + 0^{2} = 10000 > 6250

.

Auch hier wie gesagt die zweite Lösung

c)

10 \cdot 10 = 100

und

10 + 10 = 20 > 20,5

also kann deine Lösung auch nicht stimmen.

d)

überlege was du konkret gemacht hast und wie man das allgemein skizzieren könnte.

hagman aktiv_icon

14:12 Uhr, 21.01.2012

a)

Wenn der eine Summand

x

ist, muss der andere logischerweise

100 - x

sein.
Das Produkt ist dann

x \cdot (100 - x) = 100 \cdot x - x^{2} = 2500 - (x^{2} - 100 \cdot x + 2500) = 2500 - {(x - 50)}^{2}

.
Wie man sieht (da Quadrate

\geq 0

sind) ist das Produkt also in der Tat stets

\leq 2500

und es besteht Gleichheit genau dann, wenn

x = 50

. Somit stimmt deine Angabe.

b)

Diesmal geht es um

x^{2} + {(100 - x)}^{2} = 2 \cdot x^{2} - 200 \cdot x + 10000 = 2 \cdot (x^{2} - 100 \cdot x + 2500) + 5000 = 2 \cdot {(x - 50)}^{2} + 5000

.
Wenn man diesen Ausdruck so klein wie möglich machen will, bietet sich

x = 50

an, denn dann wird das Quadrat 0. Die kleinstmögliche Quadratsumme ist also

50^{2} + 50^{2} = 2500

.
Wenn man den Ausdruck dagegen so groß wie möglich machen will, sollte man

| x - 50 |

möglichst groß machen. Unter den gegebenen Einschränkungen (nicht-negative Summanden) ist dies bei der Wahl

x = 0

oder auch

x = 100

der Fall. Beides führt auf

0^{2} + 100^{2} = 10000

c)

Der eine Faktor sei

x (> 0),

dann ist der andere

\frac{100}{x}

. Die zu minimierende Summe ist also mit einem kleinen Trick wie folgt umzuformen:

x + \frac{100}{x} = {\sqrt{x}}^{2} - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{10}{\sqrt{x}} + \frac{10^{2}}{{\sqrt{x}}^{2}} + 20 = {(\sqrt{x} - \frac{10}{\sqrt{x}})}^{2} + 20

Der kleinstmögliche Wert ergibt sich, wenn

\sqrt{x} - \frac{10}{\sqrt{x}}

Null ist, also wenn

\sqrt{x = \frac{10}{\sqrt{x}}}

bzw.

x = 10

.
Man zerlege also

100 = 10 \cdot 10,

was auf die Summe

10 + 10 = 20

führt

d)

Ein wenig Abstraktion von den obigen Rechnungen sollte darauf führen, dass, wenn man

100

durch eine beliebige positive Zahl

n

ersetzt, die Antworten wie folgt lauten: bei

a)

Summenzerlegung

\frac{n}{2} + \frac{n}{2} \Rightarrow

maximales Produkt

\frac{n^{2}}{4};

dann bei

b)

Summenzerlegung

\frac{n}{2} + \frac{n}{2} \Rightarrow

minimale Quadratsumme

\frac{n^{2}}{2};

Summenzerlegung

0 + n

bzw.

n + 0 \Rightarrow

maximale Quadratsumme

n^{2};

schließlich bei

c)

Produktzerlegung

\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \Rightarrow

minimale Faktorsumme

2 \cdot \sqrt{n}

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