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Zahlenketten - Kombinatorik
Universität / Fachhochschule
Rekursives Zählen
Tags: Ganze Zahlen, Kombinatorik, natürliche Zahlen, Rekursives Zählen, Zahlenkette
 
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Hallo Leute! Ich studiere im 1. Semester Grunschullehramt und stehe vor folgender Problematik: 1. Finden Sie alle natürlichen Zahlen als Startzahlen, bei denen die 6er-Zahlenkette mit 70 endet. Begründen Sie, warum es keine weiteren Lösungen geben kann. 2. Finden Sie alle ganzen Zahlen als Startzahlen, bei denen die 6er-Zahlenkette mit 70 endet. (Das sind unendlich viele Zahlen, also müssen Sie eine formelmäßige Beschreibung geben.) In einem Beitrag hier auf onlinemathe.de habe ich gelesen, dass für Zahlenketten folgende Gesetzmäßigkeit für eine 6er-Kette gilt: Was draufhin jedoch folgt, ist für mich nicht ganz nachvollziehbar. Dort nimmt man sich nun die Formel der größten ganzen Zahl vor: und rechnet größte ganze Zahl Darf man dann auch für die größte ganze Zahl genauso vorgehen: größte ganze Zahl ? Laut Foreneintrag lautet die für gerade ganze 's: Wie kommt man darauf noch zu rechnen? Bei ungeraden Zahlen soll man laut Foreneintrag rechnen. Woher kommt das im Zähler? Da ich gerade komplett neu in die Thematik der Zahlenketten einsteige, weiß ich nicht, was ich bei den Zahlen beachten muss und wie sich da die Formel zusammensetzt. Über Hilfe würde ich mich riesig freuen! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ganze Zahlen addieren/subtrahieren Gemischte Aufgaben der Kombinatorik Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen |
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Hallo, "Zahlenkette" als solche ist alles oder auch nichts. Man kann beliebig viele Zahlenketten erzeugen - für jede Bildungsvorschrift eine andere. Nenne uns bitte die Bildungsvorschrift der Zahlenkette, von der du sprichst. Viele Grüße Gast62 |
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Hallo! Eine besondere Bildungsvorschrift außer jene, die ich eingangs genannt habe: 1. Finden Sie alle Startzahlen , bei denen die 6erZahlenkette mit endet. Begründen Sie, warum es keine weiteren Lösungen geben kann. 2. Finden Sie alle Startzahlen , bei denen die 6er-Zahlenkette mit endet. (Das sind unendlich viele Zahlen, also müssen Sie eine formelmäßige Beschreibung geben.) habe ich leider in der Aufgabenstellung nicht vorgegeben. In den vorangehenden Aufgaben soll man zwar einmal die erste Zahl um 1 vergößern bzw. verkleinern und in b) dasselbe mit der zweiten Zahl tun und dann schauen, wie sich die letzte Zahl verändert, jedoch nicht in der vorliegenden Fragestellung. Das Verändern der ersten und zweiten Zahl diente nur zum "Warmwerden" mit den Zahlenketten. Jetzt sollen allgemeine Formeln gefunden werden, so dass die 6. Zahl in der Kette ergibt. |
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Hallo, ich gebe dir mal ein Beispiel: Eine Zahlenkette fängt mit einer natürlichen Zahl an. Jede folgende Zahl der Kette ist doppelt so groß wie die vorhergehende. Solche Ketten sind z.B. 1,2,4,8,16,32,64, 128,.. oder 5, 10, 20, 40, 80, 160,... In diesen Ketten wird beispielsweise NIE 70 erreicht. Wenn die 70 erreicht werden soll, muss es eine andere Bildungsvorschrift geben. Lies die komplette Aufgabe noch einmal genau. WO STEHT DIE BILDUNGSVORSCHRIFT? |
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Ok, ich denke ich weiß nun, was in meinem Fall mit Bildungsvorschrift gemeint ist. Wir machen nichts weiter mit den Zahlen, als die benachbarten miteinander zu addieren, um auf die nächste Stelle zu kommen. Hier das Anfangsbeispiel vom Prof: 5, 11, 16, 27, 43, 70 5 + 11 = 16 11 + 16 = 27 16 + 27 = 43 27 + 43 = 70 |
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Wenn man den Begriff "Zahlenkette" sucht, könnte man auf die Idee kommen, dass es das tatsächlich als mathematischen Fachbegriff gibt, zumindest unter Grundschulmathematikern. Es handelt sich hier um Folgen nach dem Fibonacci-Prinzip mit beliebigen Startzahlen. maxiwi hätte uns alle ganz leicht aufklären können durch Verlinkung des gefundenen onlinemathe-Beitrags. http//www.onlinemathe.de/forum/Zahlenkette-Kombinatorik Stattdessen die Folge auch noch falsch fortgesetzt hier zu notieren ist keine Meisterleistung! Meine dringende Empfehlung: Bevor Du hier hochtheoretische Antworten erhältst, probier doch selbst mal einiges aus. Das ist doch sehr geeignet dafür (und der Sinn der Aufgabe). |
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Jetzt macht das Ganze auch Sinn. Was du vorhin als Beispiel genannt hast, war also nicht irgendwo exemplarisch hergeholt, sondern tatsächlich die Bildungsvorschrift für die konkrete Aufgabe. Die ersten zwei Startzahlen sind zunächst frei wählbar, deshalb wurden für die erste und zweite Zahl der Kette Variablen (a und b) eingesetzt. Damit ist die dritte Zahl der Kette a+b die vierte Zahl b+(a+b)=a+2b, die fünfte Zahl der Kette (a+b)+(a+2b)=2a+3b, und die sechste Zahl der Kette ist (a+2b)+(2a+3b)=3a+5b. Das soll 70 ergeben, also muss 3a+5b=70 sein. Im Bereich der reellen Zahlen hätte das unendlich viele Lösungen: Aus 3a+5b=70 folgt durch Umformen b=-0,6a+14. Das ist in einem b-a-Koordinatensystem eine Gerade mit dem Anstieg -0,6, die die b-Achse bei b=4 schneidet. Jeder Punkt der Geraden mit seinen Koordinaten (a,b) würde eine Lösung dieser Gleichung liefern. Für die Grundschule sind nur natürliche Zahlen von Bedeutung. Von der geschilderten Geraden kommen also nur die Punkte in Betracht, bei denen beide Koordinaten natürliche Zahlen sind. Ich möchte die Gerade jetzt verlassen und mich wieder der Gleichung 3a+5b=70 zuwenden. Da a und b keine negativen Zahlen sein dürfen, ist b mindestens 0 und höchstens 14 (und a ist mindestens 0 und höchstens 23). In diesen 15 möglichen Fällen für b kann man das zugehörige a ausrechnen und überprüfen, ob es auch natürlich ist (oder nur ein Bruch). Mit einer einfachen Überlegung kann man die Anzahl der zu untersuchenden Fälle noch verringern: Da 70 durch 5 teilbar ist und 5b auch durch 5 teilbar ist, muss 3a auch durch 5 teilbar sein. Das geht nur mit a=5, a=10, a=15 und a=20. (a=25 ist schon zu groß für das Ergebnis 70). Ermittle nun für diese vier a-Werte den jeweils zugehörigen b-Wert. PS: ich sehe erst jetzt einen Fehler in deinem Ausgangspost: da ist von 3a+4b die Rede, es muss aber 3a+5b sein. |
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@ Matlog: Nun mal halblang, die Welt geht deswegen bestimmt nicht unter! Außerdem war es mein Versuch die Reihe weiter zu führen und das Problem zu lösen. Wie kann man sich nur darüber so aufregen!?! @ Gast62: Vielen lieben Dank für deine Antwort!!! Ich gehe sie morgen durch. Schönen Abend noch! :-) |
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"Außerdem, was soll an der Reihe vom falsch sein? Zumal sie vom Prof selbst ist..." Das sind die Grundschullehrer von morgen: Autoritätsgläubig ohne Ende... DEIN PROF HAT SICH VERRECHNET (oder wenigstens vertippt.) Ich bin weg. |
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@Gast62: Dich hatte ich mit dem letzten Kommentar nicht gemeint, sondern deinen Vorposter! Ich danke dir für deine sehr ausführliche Erklärung und wünsche dir noch einen schönen Abend! |
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