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Zahnräder

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Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

klatschmir aktiv_icon

20:42 Uhr, 05.12.2009

Aufgabe 27 - Zahnräder (7 Punkte)

Zwei Zahnräder mit m = 21 und n = 52 Zahnrädern greifen ineinander.
(a) Wie viele Umdrehungen müssen die Räder jeweils machen, bis wieder der gleiche Zahn des
einen Zahnrads in die gleiche Lücke des anderen Zahnrads greift?
(b) Die Zähne des kleineren Rads und die Lücken des größeren Rads werden von 0 bis 20 bzw.
von 0 bis 51 durchnummeriert. Zu Beginn trennen Zahn und Lücke mit den Nummern 0
aufeinander. Wie viele Umdrehungen müssen die beiden Räder jeweils machen, bis der Zahn
mit der Nummer 17 in die Lücke mit der Nummer 11 greift?
(c) Ein Zahn des kleinen Rads ist defekt und nutzt die Lücken des anderen Rads die er berührt
stark ab. Neben dem Rad mit 52 Zähnen steht noch ein Rad mit 54 Zähnen zur Verfügung.
Welches der beiden größeren Räder sollte hinsichtlich einer gleichmäßigen Abnutzung eingesetzt
werden? Begründung!

hagman aktiv_icon

21:34 Uhr, 05.12.2009

a : 21

und

52

sind teilerfremd

c : 21

und

54

sind leider nicht teilerfremd

klatschmir aktiv_icon

01:49 Uhr, 06.12.2009

könntest du das näher erläutern

munichbb

09:19 Uhr, 06.12.2009

Hi,

teilerfremd: Internet oder Grundschule.

m u b b

klatschmir aktiv_icon

14:37 Uhr, 11.12.2009

kann mir bite jemand helfen? ich weiß nicht wie ich anfangen soll. EIn Lösungsweg wäre sehr hilfreich

vulpi aktiv_icon

15:31 Uhr, 11.12.2009

Hallo, zu

a :

Nach jeder vollen Umdrehung des kleinen Rades habe beide Räder logischerweise
jeweils weitere

21

Zähne zurückgelegt.
Also nach

z . B

10

Umdrehungen von

R 1

(:=kleines Rad)
Wird der "Weg" von

210

Zähnen bewältigt.
Das heißt dann für

R 2

vier volle Umdrehungen

+ 2

Zähnchen

(4 \cdot 52 + 2 = 210)

Die Frage lautet nun , nach welchem Weg BEIDE Räder das erste mal VOLLE Umdrehungen absolviert haben, sprich sich wieder an den gleichen Stellen berühren.
(Als Imaginationshilfe könnte man sich an beide Räder am Start-Berührpunkt ´nen roten Leuchtpunkt hingemalt denken)
Das muß also in Zähnchen gesprochen ein Vielfaches von

21

und gleichzeitig ein Vielfaches von

52

werden.

also

21 \cdot n

muß durch

52

teilbar sein

d . h

3 \cdot 7 \cdot n = 2^{2} \cdot 13 \cdot k

oder

k = \frac{3 \cdot 7}{2^{2} \cdot 13} \cdot n

Wie muß jetz

n

aussehen, damit

k

eine ganze Zahl wird?
An den Primfaktoren läßt sich nichts rauskürzen
(Zähler und Nenner haben VERSCHIEDENE Teiler(Primfaktoren),
sind also Teilerfremd.)
Somit muß

n

den Job komplett alleine übernehmen,
muß also die

2^{2}

und auch die

13

enthalten, um den Nenner verschwinden zu lassen.

n

muß also mindesten

52

sein

k

wird dann

21

Wenn

n

die

2^{2} \cdot 13

NICHT als Faktoren enthielte, KANN

k

keine ganze Zahl
werden. Denn irgendein Faktor 2 oder

13

bleibt dann im Nenner alleine übrig.

Ich hoffe, es war hifreich...

Greys aktiv_icon

11:02 Uhr, 14.12.2009

und wie gehe ich die

b)

an?
ich kann ja

x = 17 mod 21

und

x = 11 mod 52

schreiben
wenn ich aber das versuche mit chin. restsatz auszurechnen, komm ich auf irgendeine zahl, die mein rechner nich mehr anzeigen kann...
kann jemand helfen?

madita aktiv_icon

14:02 Uhr, 19.01.2013

Hallo,
ich habe die gleiche Frage,
Teil

a)

der Aufgabe ist mir soweit klar, bei Teil

b

komme ich aber nicht weiter.
Kann mir hierzu noch jemand einen Tipp geben?

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