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Zeige Eigenwerte einer Hermiteschen Matrix reell

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert, hermitesch

Bnxno aktiv_icon

16:24 Uhr, 10.07.2019

Hallo Forum,

ich bräuchte Hilfe bei folgenden Aufgaben, da ich keinen Ansatz(Anfang) finde und keine Idee hab wie ich die Eigenschaften der Hermiteschen Matrix benutzen soll...
Danke im Voraus!

(Aufgaben siehe Bilddatei)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:04 Uhr, 10.07.2019

Hallo,

kennt ihr das Ergebnis, dass eine hermitesche Matrix

A

selbstadjungiert ist, d.h.

￼ ￼ ￼ 〈 A x, y 〉 = 〈 x, A y 〉

gilt?

Darauf kann man es zurückführen:
Ist

λ

ein EW der hermiteschen Matrix

A

v

ein zu

λ

gehöriger EV von

A

, so gilt:

λ 〈 v, v 〉 = 〈 v, λ v 〉 = 〈 v, A v 〉 \overset{A selbstadj.}{=} 〈 A v, v 〉 = 〈 λ v, v 〉 = \overline{λ} 〈 v, v 〉

.

Wegen

v \neq 0

(Eigenvektor) gilt

〈 v, v 〉 \neq 0 \Rightarrow λ = \overline{λ}

Mfg Michael

Bnxno aktiv_icon

20:08 Uhr, 10.07.2019

Hi Michael,

danke für deinen Lösungsvorschlag! Eben genau so finde ich ihn in meinen Übungsunterlagen wieder, nur kann ich ihn leider nicht wirklich nachvollziehen..
1. Wieso geht man vom Produkt Lamda

\cdot

Skalarprodukt aus den Eigenvektoren aus
2. Wieso verändert die Eigenschaft

H^{H} = H

das Skalarprodukt aus <Hv,v> zu Skalarprodukt aus <v,Hv> ?

Mfg

ermanus aktiv_icon

20:35 Uhr, 10.07.2019

Hallo,
zu 2.:

H^{*} = H \overset{}{\Leftrightarrow} H^{T} = \overline{H}

, wenn

H

hermitesch ist.
Nun gilt für

v, w

definitiosgemäß

< v, w > = v^{T} \cdot \overline{w}

, wobei "

\cdot

"
das normale Matrizenprodukt ist.
Es ist für beliebige Vektoren

v, w

< H \cdot v, w > = (H \cdot v)^{T} \cdot \overline{w} = v^{T} \cdot H^{T} \cdot \overline{w} =

= v^{T} \cdot \overline{H} \cdot \overline{w} = v^{T} \cdot \overline{(H \cdot w)} = < v, H \cdot w >

Zu 1.: Man möchrte etwas Bestimmtes beweisen, also nimmt man einen
dafür praktischen Ansatz. Das werde ich hier nicht erklären. Da musst du
schon selbst durch (möglicherweise längeres) Nachdenken drauf kommen ;-)

Gruß ermanus

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