Zeige: (R,+,*) ist ein kommutativer Ring mit 1

Huhu, wäre schön wenn mir hier jemand helfen könnte :)

1: Es sei M eine Menge, und R:={x|x${\displaystyle \subseteq }$M} die Menge aller Teilmenggen von M. Auf R definieren wir Summe und Produkt durch

X+Y := (X${\displaystyle \cup }$Y) - (X${\displaystyle \cap }$Y)

${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ := X${\displaystyle \cap }$Y

Zeige: (R,+,${\displaystyle \cdot }$) ist ein kommutativer Ring mit 1.

Ein kommutativer Ring mit 1 ist ja nichts anderes als ein Körper. Du musst also sowohl Neutrale und Inverse Elemente zu den Operationen finden und alle Axiome des Körpers zeigen. Stupide schreibarbeit. Viel Spass ;)

Hallo, erstmal Danke für deine rasche Antwort :D,

hab aber leider keine Begabung dafür und kann mir momentan noch nichts drunter vorstellen.

Kannst du mir vielleicht noch ein Beispiel dazu geben?

Ich mache es dir mal für einen Teil der Axiome der Addition vor:

1. Es existiert ein neutrales Element der Addition. Das ist offensichtlich die leere Menge, denn:

${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{\varnothing <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \mathrm{\varnothing <mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{\varnothing <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\varnothing <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

2. Inverses Element bleibt dir überlassen

3. Abgeschlossenheit bezüglich der Addition. Diese ist offensichtlich, denn:

Zu zeigen:${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\wedge \mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\Rightarrow \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ Dabei ist ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, d.h. wieder eine Teilmenge von M, denn alle Element aus x vereinigt y sind Element von M. Das selbe gilt für x geschnitten y. Damit ist deren Differenz, wieder eine Teilmenge von M.

4. Assoziativität

5. Kommutativität

Das waren jetzt mal die Axiome für die Addition. Für die Multiplikation musst du es genauso machen und am Schluss dann noch das Distributivgesetz beweisen.

mfg matheleo

Danke schonmal. Das scheint für dich alles so einfach zu sein und für mich eben nicht.

Ich hab irgendwie keine Ahnung von all dem muss ich zugeben.

Fände es schön, wenn ichs auch mal können würde ...



Hmm, kannst du oder jemand anderes mir weiter Hilfen geben, oder (ist zwar blöd) die ganze Lösung, damit ich es nachvollziehen kann?

2. Inverses Element der Addition zu X ist X selbst. Das kann man einfach ausprobieren: ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}=\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{\varnothing <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

5. Kommutativität:

${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

So 4. überlasse ich dir. Nimm dazu drei Elemente aus R, schreibe auf was du beweisen musst (nämlich, dass a+(b+c)=(a+b)+c ist) und leite es her.

Das klappt schon. Die Multiplikation ist viel einfacher. Für sie musst du dieselben Sachen wie für die Addition beweisen. Am Schluss bleibt dann eben noch das Distributivgesetz.