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Startseite » Forum » Zeige, dass B kein Hauptideal von z[x] ist.
Zeige, dass B kein Hauptideal von z[x] ist.
Universität / Fachhochschule
Polynome
Ringe
Tags: polynom, Ring
 
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Hi, ich soll zeigen, dass kein Hauptideal von ist. Dazu nehme ich an, dass doch eins wäre und will das dann zum Widerspruch führen. Angenommen, sei doch ein Hauptideal, dann gäbe es so, dass gilt: . Weil alle Polynome aus in B enthalten sind (Als Summe mit dem Nullpolynom, das ja in enthalten ist), habe ich bisher raus, dass Grad 0 haben muss. Irgendwie muss ich das jetzt mit den Gradformeln zum Widerspruch führen, kann mir jemand helfen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Wenn Du schon weißt, dass Grad hat, dann ist Konstante, sagen wir . Da in liegt, muss ein existieren mit . Das ist nur möglich, wenn und . Damit würde aber in liegen, also sein mit irgendeinen , das ist aber nicht möglich, was Koeffizientenvergleich zeigt. Aber wie beweist Du, dass grad? |
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oh super, danke! ich glaube das hat mir geholfen. Grad(P)=0 hab ich mir gedacht, weil halt alle Polynome aus 2*Z[x] in P*Z[x] enthalten sein müssen, weil die auch in B enthalten sind. Wäre jetzt P ein Polynom vom Grad 1 oder größer, dann wäre mit den Gradformeln der Grad von jedem Polynom aus P*Z[x] auch von Grad größer 1 (oder halt minus unendlich, das ist bei uns der Grad des Nullpolynoms). Es würden dann aber so einfache Polynome wie 2 nicht mehr in P*Z[x] liegen und das darf nicht sein, weil 2 in 2*Z[x] liegt. Kann man doch eigentlich so sagen, oder ist da ein Denkfehler drin? |
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Du argumentierst richtig, es ist nur möglich, das Ganze etwas kürzer zu fassen. Aber es muss nicht unbedingt sein. |
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