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Zeige dass folgende Ideal endlich erzeugt ist
Universität / Fachhochschule
Polynome
Tags: Algebra, Ideal, Polynomring
 
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Hallo! ich habe folgende Fragestellung: Sei ein Ideal, das von beliebig vielen Monomen erzeugt wird. Zeige, dass I endlich erzeugt ist. Ich wäre um Hilfe/Hinweise sehr dankbar, ich tue mich sehr schwer, da wir in diese Woche für erstes Mal darüber gehört haben. LG simssims Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, wenn ein Noetherscher Ring ist, dann ist auch Noethersch. Das ist der Hilbertsche Basis-Satz. Gruß ermanus |
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Hallo ermanus! Danke für deine Antwort. Es stimmt aber ich glaube wir sollen bei noethersche Ringe wissen, dass es endlich erzeugt ist. Und wir haben in diesem Fall nur dass es von beliebig vielen Monomen erzeugt ist, aber nicht unbedingt endlich, oder? |
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Hallo simssims, verstehe dein Problem gerade nicht. Es ist doch die Eigenschaft eines noetherschen Ringes, dass jedes Ideal - egal wie es gegeben ist - endlich erzeugt ist. |
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Ach so, okay verstehe ich. Soll ich vielleicht dann beweisen dass K[x1,...,xn] noetherisch ist? |
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Ich glaube es gilt nicht so allgemein, es ist auch nicht gegeben dass K ein Körper ist. |
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Kannst du mal die Originalaufgabe hier einstellen? |
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Es ist die Originalaufgabe. Steht nichts anderes. |
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Ja, aber dann gibt es doch nur Sinn, wenn ein Körper ist. |
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Hallo, dass noethersch ist, ist leicht zu zeigen: da euklidisch, also ein Hauptidealring ist, ist noethersch. Wenn wir schon wissen, dass noethersch ist, lönnen wir aus Hilberts Basissatz folgern, dass dann auch noethersch ist. Damit die Aufgabe überhaupt noch eine interessante Aussage macht, sollte man beweisen, dass ein Ideal , das von beliebig vielen Monomen erzeugt wird, bereits von endlich vielen unter ihnen erzeugt wird. Ist die Aufgabe vielleicht so gemeint ? LG ermanus |
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Hallo! vielen Dank für die Antwort. Ich hätte eine Frage zu den Beweis dass es noetherisch ist, würde deine Beweis gelten nur falls K ein Körper ist? Du hast recht, und es ist mir leider auch nicht sehr klar wie es gemeint ist. Aber ich glaube es ist genau gemeint, was du gesagt hast. Wir hätten auch einen Hinweis wo wir diese Monome mit ihre Exponente in die natürliche Zahlen identifizieren und dann eine Vereinigung schauen über diese Exponenten . LG simssims |
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Mein noethersch-Beweis würde auch gelten, wenn ein noetherscher Ring ist. Ich gehe aber davon aus, dass ein Körper sein soll, schon wegen der Bezeichnung "K". Was die Monome anbetrifft, ist es tatsächlich wichtig, dass man jede Menge von Monomen (in Unbestimmten) "durchnumerieren" kann. Man kann sie z.B. in die eine oder andere lexikografische aufsteigende Reihenfolge bringen. Ist also eine Menge von Monomen , so kann ich o.B.d.A. annehmen, dass die Gestalt hat. Nun definiere dir eine geeignete aufsteigende Kette von Idealen und wende ACC an, also die aufsteigende Kettenbedingung ... |
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