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Zeige dass jede cauchy folge beschränkt ist

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Cauchy Folge

Luna- aktiv_icon

19:19 Uhr, 30.01.2023

Hallo :

Zeige, dass jede Cauchy-Folge im

R, C

beschränkt ist.
Lösung:
Sei also

a : N

→

K, n

→

a (n)

mit

K

∈

{R, C}

eine Cauchy-Folge, dann gilt fur

ε = 1 :

|an − am|

< ε = 1

∀n,

m

≥

N = N (1)

Setze nun

m = N

Dann gilt fur alle

n

≥

N :

|an| = |an − aN

+

aN | ≤ |an − aN

| +

|aN | ≤

1 +

|aN | ∆−Ungl.
Setze nun

M := max

{

|an|n ∈

N} <

∞, dann erhält man schließlich:
|an| ≤

max {M,

|aN

| + 1}

∀n ∈

N

Meine Frage lautet nun

:

in den letzten 2 Zeilen : was wird denn hier ausgesagt ?

Danke mal voraus

michaL aktiv_icon

21:23 Uhr, 30.01.2023

Hallo,

> Meine Frage lautet nun : in den letzten 2 Zeilen : was wird denn hier ausgesagt ?

Ich fürchte, darauf lässt sich nicht so leicht eine Antwort finden. Ich denke, dass der Beweis eigentlich wie folgt zu Ende geht:

|an| = |an − aN + aN | ≤ |an − aN |+ |aN | ≤ 1+ |aN | ∆−Ungl.

Nun geht es vermutlich so weiter:

M := max {∣ a_{k} ∣ ∣ k \leq N}

(existiert, da

{∣ a_{1} ∣, \dots, ∣ a_{N} ∣}

eine endliche Menge ist).

Dann gilt:

∣ a_{n} ∣ \leq max {M, 1 + ∣ a_{N} ∣}

Mfg Michael

Luna- aktiv_icon

14:52 Uhr, 01.02.2023

Danke
Verstehe ich das Richtig : also : an ist durch sein Maximum bzw. durch diese Ungl

. (1 +

Betrag aN) beschränkt ? Also das größere der beiden

ledum aktiv_icon

16:20 Uhr, 02.02.2023

Hallo
"an ist durch sein Maximum" beschränkt kannst du nicht sagen , Michael hat es doch richtig erklärt
an hat eine ein festen Wert deshalb ist "sein Max" sinnfrei-
ledum

Luna- aktiv_icon

08:26 Uhr, 04.02.2023

Danke mal für eure Antworten . Was ist "sinnfrei " . Ich verstehe überhaupt nicht nicht was ledum sagen will ; kannst du mir das bitte genauer erklären

ledum aktiv_icon

12:41 Uhr, 04.02.2023

Hallo
an ist eine Zahl

z . b

. an=5 es gibt keinen Sinn vom Maximum von 5 zu reden dagegen schon vom Max aller Folgenglieder an zu reden für die

n < N 0

ist
Gruß ledum

Luna- aktiv_icon

13:14 Uhr, 04.02.2023

Ich verstehe das jetzt nicht . Ist an nicht eine Folge .

n

ist der Index

n

nimmt doch unterschiedliche werte an

a 1 a 2 a 3 . .

.
?

Luna- aktiv_icon

13:32 Uhr, 04.02.2023

Bedeutet das nicht

: M

ist das größte Folgenglied ; für alle

n

kleiner gleich

N

Luna- aktiv_icon

13:36 Uhr, 04.02.2023

Bedeutet das hier : ∣an∣≤max

{

M,1+∣aN∣} nicht an ist kleiner gleich das größere von beiden .

D . h

. an ist kleiner gleich

M

bzw. 1+aN
Also an kleiner gleich

M

falls

M

größer ist als aN

+ 1

Luna- aktiv_icon

13:50 Uhr, 04.02.2023

Bedeutet das ganze : für alle

n

größer gleich

N

gilt :
an = der Höchstwert von

(a

index

N,

aindex

(N + 2), a

index

(N + 3) . .

, 1 + a

index

N)

Also der Höchstwert vom Glied aN , Glied aN+1 , usw . sowie von

1 +

Glied aN
Also ab dem Index

N

sind alle Folgenglieder an kleiner gleich a index

(N) + 1

bzw . aN

, . .

RainerMetal aktiv_icon

14:39 Uhr, 04.02.2023

Gruess Gott,
fangen wir mal bissl von neu an.
Also eine Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

ist beschraenkt, wenn man eine Konstante

M > 0

finden kann, sodass

∣ a_{n} ∣ \leq M f u e r a l l e n \in ℕ

.
Nun betrachtet man irgeine Cauchy-Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

ℝ

.
Nach Definition findet man also, wenn man

ε = 1

z.B waehlt, dass es dafuer eine positive ganze Zahl

N = N (1)

gibt, derart dass

∣ a_{n} - a_{m} ∣ < 1

fuer alle

n, m \geq N

. Insbesonder kannse auch

m = N

waehlen, die Bedingung gilt ja fuer alle

n, m \geq N

.
D.h wir erhalten

∣ a_{n} - a_{N} ∣ < 1

fuer alle

n \geq N

.
So jetzt koennen wir die Dreiecksungleichung benutzen:

∣ a_{n} ∣ = ∣ a_{n} - a_{N} + a_{N} ∣ \leq ∣ a_{n} - a_{N} ∣ + ∣ a_{N} ∣ < 1 + ∣ a_{N} ∣

fuer alle

n \geq N

.
Was heisst das nun? Naja, dass die Folge

(a_{n})

beschraenkt ist fuer alle

n \geq N

.
Wir wollen aber zeigen, dass

∣ a_{n} ∣ \leq M

fuer alle

n \in ℕ

. Wir haben jetzt nur eine obere Schranke ab dem Index

N

. D.h wir muessen noch die Folgenglieder

∣ a_{1} ∣, ∣ a_{2} ∣, . . ., ∣ a_{N - 1} ∣

betrachten. Sind nun endlich viele, also

N - 1

Stueck. Koennen also

M := m a x (∣ a_{1} ∣, ∣ a_{2} ∣, . . ., ∣ a_{N - 1} ∣)

definieren.
Zusammenfassend haben wir nun:

∣ a_{n} ∣ \leq 1 + ∣ a_{N} ∣

fuer alle

n \geq N

und

∣ a_{n} ∣ \leq M

fuer

1 \leq n \leq N - 1

.
Sagen wir mal

1 + ∣ a_{N} ∣ \geq M

, dann ist ja klar, dass

∣ a_{n} ∣ \leq 1 + ∣ a_{N} ∣

fuer alle

n \in ℕ

. Denn fuer

n \geq N

haben wir das schon gezeigt und fuer die restlichen Folgeglieder
gilt

∣ a_{1} ∣, ∣ a_{2} ∣, . . ., ∣ a_{N - 1} ∣ \leq M \leq 1 + ∣ a_{N} ∣

.
Umkehrt gilt, wenn

1 + ∣ a_{N} ∣ \leq M

∣ a_{n} ∣ \leq M

fuer alle

n \in ℕ

.
Also daher

∣ a_{n} ∣ \leq max (M, 1 + ∣ a_{N} ∣)

fuer alle

n \in ℕ

Luna- aktiv_icon

15:41 Uhr, 04.02.2023

Jetzt verstehe ich das

!!

Vielen herzlichen Dank

!!!

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