Hallo,
ist die KLEINSTE obere Schranke, d.h. es gilt für alle . Diese Ungleichung gilt außerdem für kein kleineres Element als .
Entsprechend ist die GRÖßTE untere Schranke, d.h. es gilt für alle . Diese Ungleichung gilt zudem für kein größeres Element als .
Nun nehmen wir mal die (zu beweisende) Aussage her.
Sie sagt: ist die kleinste obere Schranke der Menge . Gemäß Definition musst du zwei Dinge beweisen: * ist wirklich eine obere Schranke von . * Es gibt keine kleinere obere Schranke als diese.
Der erste Teil ist wirklich leicht gemacht: Sei . Da insbesondere eine untere Schranke von ist, gilt also . Dies wird mit multipliziert und führt (äquivalent) zu . Zack, ist also eine obere Schranke für irgend ein beliebiges Element von , und daher für alle Elemente von .
Stellen wir uns mal vor, es gäbe eine weitere obere Schranke von , die KLEINER wäre als , d.h. es würde und für alle gelten. Beide Gleichungen mit multipliziert führen zu: und für alle .
Wegen der letzten Ungleichung wäre also eine untere(!) Schranke von UND wegen der ersten echt größer als das Infimum, welche ja die GRÖßTE aller unteren Schranken zu sein hat. Eine größere untere Schranke als die größte? Erscheint mir irgendwie widersprüchlich. So etwas kann es nicht geben. Na, dann kann es wohl keine kleinere obere Schranke von geben als . ist demnach die kleinste obere Schranke von , in Zeichen .
Mfg Michael
PS: Ich will nicht verhehlen, dass man den Beweis auf folgende beiden Ungleichungen zurückführen könnte, wenn man ihn leicht anders zuspitzte: und .
Aus diesem und folgt doch auch, dass zu gelten hat.
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