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Zeigen Sie, dass N ein Normalteiler...

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: faktorgruppe, Gruppen, Normalteiler, Ordnung

Bibsel aktiv_icon

18:30 Uhr, 03.05.2014

Guten Abend,

Ich hatte es ja schon angedroht, dass ich mich noch nicht sicher fühle und womöglich noch etwas Hilfe brauche.
Nun bei folgender Aufgabe, weiß ich leider gar nicht, wo ich anfangen sollte.

Zu allererst die Aufgabe:

G

sei eine Gruppe und

N := {a_{1}^{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}^{2} | n \in N; a_{1}, ..., a_{n} \in G}

Zeigen Sie, dass

N

ein Normalteiler in

G

ist. Beweisen Sie weiterhin, dass jedes Element der Faktorgruppe

G \ N

die Ordnung 1 oder 2 hat. Ist

G \ N

abelsch?

So weit so gut,
allein die Definition von

N

bereitet mir bereits Probleme.

Wie dem aber auch sei, um zu zeigen, dass

N

ein Normalteiler in

G

ist, müsste man erstmal zeigen, dass

N

überhaupt eine Untergruppe von

G

ist.
Die Untergruppenaxiome sind ja simpel

i) U

enthält das neutrale Element;
ii) sind

h_{1}, h_{2} \in U,

so ist auch

h_{1} h_{2} \in U;

iii) ist

h \in U,

so ist auch

h^{- 1} \in U

.

Nur habe ich jetzt wirklich große Schwierigkeiten, diese Axiome auf die gegebene potentielle Untergruppe anzuwenden.

Ich danke allen schonmal im Voraus, die sich die Mühe machen, sich das hier durchzulesen und mir womöglich sogar noch helfen zu wollen

LG,
Bibsel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

18:37 Uhr, 03.05.2014

Es sieht schlimmer aus als es ist. :-)

ii)

h_{1}

h_{2} \in N = >

h_{1} = a_{1}^{2} \cdot . . . \cdot a_{n}^{2}

h_{2} = b_{1}^{2} \cdot . . . \cdot b_{m}^{2}

= >

h_{1} \cdot h_{2} = a_{1}^{2} \cdot . . . \cdot a_{n}^{2} \cdot b_{1}^{2} \cdot . . . \cdot b_{m}^{2}

und das ist ein Element aus

N

, denn

N

besteht aus allen Produkten von Quadraten von Elementen aus

G

.
iii)

h \in N = > h = a_{1}^{2} \cdot . . . \cdot a_{n}^{2} = > h^{- 1} = (a_{n}^{2})^{- 1} \cdot . . . \cdot (a_{1}^{2})^{- 1} = (a_{n}^{- 1})^{2} \cdot . . . \cdot (a_{1}^{- 1})^{2}

und das ist ebenfalls ein Element aus

N

Bibsel aktiv_icon

20:35 Uhr, 03.05.2014

Hallo,

Danke, bei anderen siehts dann irgendwie immer total simpel aus

: (

Das leuchtet mir soweit nun ein, aber zum Beispiel mit dem neutralen Element, habe ich wieder die gleichen Schwierigkeiten.
Wir brauchen ein Element, das multipliziert mit einem beliebigen Element von

G

wieder dieses Element ergibt.
Kann ich einfach sagen:
"sei

a_{1} = 1, a_{1}^{2} \cdot a_{2}^{2} = 1 \cdot a_{2}^{2} = a_{2}^{2}

und somit ist das neutrale Element in G"?

Ratlosigkeit macht sich immer breiter

: (

LG,
Bibsel

DrBoogie aktiv_icon

21:41 Uhr, 03.05.2014

Alle Untergruppen haben das gleich neutrale Element, sie "vererben" es sozusagen von der "großen" Gruppe. Man muss lediglich zeigen, dass dieses neutrale Element in der Untergruppe liegt. In diesem Fall ist es trivial, denn

e = e^{2}

, also liegt das neutrale Element in

N

als ein Produkt von Quadraten (ein "triviales" Produkt, nur mit einem Faktor).

Bibsel aktiv_icon

22:40 Uhr, 03.05.2014

Guten Abend,

Wenn man dann verstanden hat, dass

N

aus Produkten von Quadraten besteht, ist es auch plötzlich nicht mehr ganz so abstrakt.

Also ich glaube, mit deiner Hilfe, habe ich nun bewiesen, dass

N

ein Normalteiler in

G

ist.
der letzte Schritt war ja zu zeigen, dass nun gilt: aU=Ua für alle

a \in G

a \cdot U = a \cdot {a_{1}^{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}^{2}}, a \cdot a_{1}^{2} = a_{1}^{2} \cdot a, ..., a \cdot a_{n}^{2} = a_{n}^{2} \cdot a

für beliebiges

a \in G

.
Somit ist

N

Normalteiler in

G

(Ist es soweit denn richtig?)

2. Beweisen Sie, dass jedes Element der Faktorgruppe

G \ N

die Ordnung 1 oder 2 hat.
Definition: Ist

G

eine Gruppe und

N

ein Normalteilerm so heißt

G \ N

bzgl der in Satz

2.6

. angegebenen Verknüpfung Faktorgruppe von

G

nach

N

(Satz

2.6

. Ist

G

eine Gruppe und

N

ein Normalteiler, dann ist

G \ N

aN*bN:=abN eine Gruppe.)

Nun ist mir bewusst, dass man die Ordnung der Faktorgruppe als Index bezeichnet und mit

(G : N)

bezeichnet und berechnet.

Meine Fragen müssen jemandem, der das alles verstanden hat, absolut schwachsinnig vorkommen, aber es will einfach nicht in meinen Kopf

: (

LG,
Bibsel

DrBoogie aktiv_icon

22:52 Uhr, 03.05.2014

"Ist es soweit denn richtig?"

Nein.

a \cdot a_{1}^{2} = a_{1}^{2} \cdot a

gilt nur in abelschen (kommutativen) Gruppen, über Deine ist aber nicht gesagt, dass sie abelsch ist.

2. Sei

x

ein Element aus

G \ N

. Man kann

x

in der Form

y N

schreiben mit

y \in G

.
Was ist nun

x^{2}

? Haben

x^{2} = (y N) \cdot (y N) = y^{2} N

(nach der Multiplikationsregel in

G \ N

). Aber da

y^{2} \in N

, haben

y^{2} N = N

. Also,

x^{2} = N

und

N = e \cdot N

ist das neutrale Element in

G \ N

(

e

ist da neutrale Element in

G

).
Also,

x^{2}

ist das neutrale Element => Ordnung von

x

ist

1

oder

2

Bibsel aktiv_icon

10:19 Uhr, 04.05.2014

Guten Morgen,

jede deiner Hinweise hilft mir, beziehungsweise beantwortet ja direkt die Aufgabenstellung.
Mir ist auch bewusst, dass bei aU=Ua bewiesen werden muss, dass die Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen...
In einer älteren Aufgabe habe ich das ohne größere Probleme hinbekommen, aber da bei

G

absolut nichts gegeben ist, fällt es mir schwer.
Obwohl ich nun Mathestudent bin, bleib ich was das angeht wohl ein Matheschüler, der am liebsten mit konkreten und absolut nicht abstrakten Vorgaben arbeitet.

Womöglich sollte ich mich dieser Aufgabe einfach geschlagen geben :-D)

LG,
Bibsel

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10:59 Uhr, 04.05.2014

"Obwohl ich nun Mathestudent bin, bleib ich was das angeht wohl ein Matheschüler, der am liebsten mit konkreten und absolut nicht abstrakten Vorgaben arbeitet."

Es ist auch richtig, mit konkreten Beispielen anzufangen, die wenigsten Leute können sofort auf die abstrakte Ebene steigen. Es gibt auch genug Beispiele von verschiedenen Gruppen, mit denen man arbeiten kann. Z.B. für diese Aufgabe kann man die Gruppe der ganzzahligen Matrizen

2 \times 2

betrachten.

Dass

N

Normalteiler ist, kann man so zeigen:
Zuerst machen wir den folgenden Trick:

x^{- 1} \cdot y^{2} \cdot x = x^{- 1} \cdot y \cdot y \cdot x = x^{- 1} \cdot y \cdot x \cdot x^{- 1} \cdot y \cdot x = (x^{- 1} \cdot y \cdot x) (x^{- 1} \cdot y \cdot x) = (x^{- 1} \cdot y \cdot x)^{2}

,
also liegt

x^{- 1} \cdot y^{2} \cdot x

N

für alle

x, y

aus

G

.
Jetzt sei

x

beliebig aus

G

und

n

beliebig aus

N

. Dann kann man

n

als

a_{1}^{2} \cdot . . . \cdot a_{k}^{2}

schreiben.
Und dann haben wir mit demselben Trick wie oben:

x^{- 1} \cdot n \cdot x = x^{- 1} \cdot a_{1}^{2} \cdot . . . \cdot a_{k}^{2} \cdot x = x^{- 1} \cdot a_{1}^{2} \cdot x \cdot x^{- 1} a_{2}^{2} \cdot x \cdot . . . \cdot x^{- 1} a_{k}^{2} \cdot x

liegt in

N

,
weil jedes

x^{- 1} a_{j}^{2} \cdot x

N

liegt nach dem oben Bewiesenen.
Also ist Folgendes gezeigt:

x^{- 1} \cdot n \cdot x

liegt in

N

für alle

x

aus

G

und alle

n

aus

N

.
Also,

x^{- 1} \cdot N \cdot x \subset N = >

N \cdot x \subset x \cdot N

(Multiplikation von links mit

x

) und

x^{- 1} \cdot N \subset N \cdot x^{- 1}

(Multiplikation von rechts mit

x^{- 1}

).
Wenn wir in der letzten Inklusion anstelle von

x^{- 1}

einfach

y

schreiben, bekommen wir

y \cdot N \subset N \cdot y

.
Also, für alle

x

gilt sowohl

N \cdot x \subset x \cdot N

als auch

x \cdot N \subset N \cdot x

(ich kann wieder

y

durch

x

ersetzen, weil sowohl

y

als

x

alle Elemente von

G

durchläuft), also

N \cdot x = x \cdot N

Bibsel aktiv_icon

17:27 Uhr, 05.05.2014

Huch, meine Antwort hat nun etwas gedauert, entschuldigung.

Wie gesagt, das sieht bei dir dann immer extrem logisch aus, aber selbst drauf zu kommen, fällt mir einfach schwer

: (

Habe mich mal an einer anderen Aufgabe versucht, wieder mit Normalteilern, damit ich es mal in meinen Kopf kriege, bisher läuft's so lala.

Danke jedenfalls vielmals für deine Hilfe!

LG,
Bibsel

DrBoogie aktiv_icon

17:30 Uhr, 05.05.2014

Ich hatte als Student in frühen 90-gen meine große Probleme mit Algebra. Es hat wirklich einige Monate gedauert, bis ich mich an die Abstraktion der Aussagen gewöhnt habe. Also, hab Geduld. :-)

Bibsel aktiv_icon

17:48 Uhr, 05.05.2014

Danke für die lieben und aufbauenden Worte.

Manchmal kommen ja eher fiesere Kommentare über das "unvorstellbare Unwissen der heutigen Studenten" ;-)

Aber gut, dann bleib ich geduldig und sehe der Erkenntnis freudig entgegen.

LG,
Bibsel

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