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Zeigen das Iteration konvergiert

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Tags: iteration, Numerik, Sonstig

Fisch18 aktiv_icon

15:44 Uhr, 27.11.2024

Hallo allerseits,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe.
Seien

A, N

symmetrische postiv definite Matrizen und sei

A = M - N

. Zeigen sie dass die Iteration

x^{k + 1} = M^{- 1} N x^{k} + M^{- 1} b

konvergiert.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

16:41 Uhr, 27.11.2024

Grobe Skizze: Wenn

A, N

symmetrisch positiv definit sind, dann trifft das sicher auch auf

M = A + N

zu. Was wäre denn der mutmaßliche Grenzwert

g

g = M^{- 1} N g + M^{- 1} b

M g = N g + b

(M - N) g = b

, führt mit

A = M - N

g = A^{- 1} b

.

Betrachtet man nun statt Folge

(x^{k})

die Folge

(y^{k})

mit

y^{k} := x^{k} - g = x^{k} - A^{- 1} b

, so gilt für die die Iteration

y^{k + 1} = M^{- 1} N y^{k}

Über die Spektralnorm

{∥ M ∥}_{2} > {∥ N ∥}_{2} > 0

müsste man dann zeigen können, dass

(y^{k})

eine Nullfolge ist - hoffe ich...

Fisch18 aktiv_icon

17:16 Uhr, 27.11.2024

Danke für die Antwort. Ich versuche noch den letzten Schritt zu verstehen, wie man zeigen kann dass

y^{k}

eine Nullfolge ist.

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