Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeigen, dass E(IX-cI) minimal falls...

Zeigen, dass E(IX-cI) minimal falls...

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

freddi11 aktiv_icon

18:25 Uhr, 27.11.2014

Hallo, ich habe die folgende Frage:

Zeigen sie, dass E(IX-cI) minimal wird, falls gleichzeitig

P (X \leq c) = 0,5

und

P (X \geq c) = 0,5

gelten!

I....I soll der Betrag sein

DrBoogie aktiv_icon

19:35 Uhr, 27.11.2014

So ein

c

(falls es existiert, was nicht immer der Fall ist) nennt man Median.
Die Aufgabe heißt dann: beweise, dass Median die absolute Abweichung minimiert. Der Beweis ist leicht im Netz zu finden. Die Idee -

∣ X - c ∣

in folgender Form zu schreiben:

∣ X - c ∣ = (X - c) χ_{A^{c}} - (X - c) χ_{A}

, wo

χ_{A}

-charakteristische Funktion von

A = {ω : X (ω) \leq c}

ist (also

1

für

ω

aus

A

und

0

sonst) und

χ_{A^{c}}

-charakteristische Funktion von

A^{c}

(Komplement zu

A

freddi11 aktiv_icon

19:44 Uhr, 27.11.2014

Danke für die Antwort.
Leider finde ich allerdings nichts dazu im Netz.
Könntest du mir bitte den Beweis erklären?

DrBoogie aktiv_icon

22:30 Uhr, 27.11.2014

Sei

a > c

.
Dann

∣ X - a ∣ - ∣ X - c ∣ = {\begin{array}{rcl} c - a & , & X \geq a \\ a + c - 2 X & , & a > X > c \\ a - c & , & X \leq c \end{array}

.

Daraus folgt:

∣ X - a ∣ - ∣ X - c ∣ = (a - c) \cdot (2 χ_{{X \leq c}} - 1) + 2 (a - X) χ_{{c < X < a}}

, wo wie gesagt

χ_{{X \leq c}}

und

χ_{{c < X < a}}

charakteristische Funktionen sind.

Dann

E (∣ X - a ∣) - E (∣ X - c ∣) = (a - c) \cdot E ((2 χ_{{X \leq c}} - 1)) + 2 E ((a - X) χ_{{c < X < a}}) =

= (a - c) (2 P (X \leq c) - 1) + 2 E ((a - X) χ_{{c < X < a}}) \geq (a - c) (2 P (X \leq c) - 1) \geq 0

, weil

(a - X) χ_{{c < X < a} \geq 0}

überall und

P (X \leq c) \geq 0.5

.

Damit gezeigt:

E (∣ X - a ∣) \geq E (∣ X - c ∣)

für alle

a > c

.
Analog zeigt man das auch für

a < c

.
Insgesamt bedeutet das, dass

E (∣ X - a ∣)

bei

a = c

minimal ist.

freddi11 aktiv_icon

14:34 Uhr, 28.11.2014

Meinst du mit charakteristische Funktion die indikatorvariable?

DrBoogie aktiv_icon

14:37 Uhr, 28.11.2014

Ja, so nennt man sie auch.

1

, wenn

x

in der Menge und

0

sonst.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1201730

1201624

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?