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Zeit und Temperatur ?
Schüler
Tags: Temperatur Gegenstand
 
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Hallo, wie bitte kann ich folgendes berechnen. Ich habe einen Gegenstand mit einer gewissen Dicke. An einer Seite des Gegenstandes lege ich eine konstante Temperatur an. Wie lange muss ich diese Temperatur anlegen, bis sich diese Temperatur auch an der gegenüberliegenden Seite befindet. Dicke=120mm Temperatur=500°C Danke. Gruss Michael Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Michael, also zunächst einmal: Das ist eine Physik-Frage und keine Mathematik-Frage zum anderen fehlt dir noch mindestens eine Angabe, nämlich der Wärmeleitkoeffizient des Gegenstandes (oder so ähnlich), denn z.B. leitet Eisen Hitze besser als Holz (ok, das würde bei 500 Grad wahrscheinlich einfach brennen, das ist aber eine andere Frage). Deswegen könnte man diese Frage so schon gar nicht beantworten. Und dann sollte es für eine solche Aufgabe Formeln geben, die wahrscheinlich in Physik-Büchern oder auf Physik-Seiten stehen. Bzw. kannst du mit der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung arbeiten (das wäre zumindest ein direkter Zusammenhang mit der Mathematik), jedoch ist dies eine partielle Differentialgleichung (siehe: www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/diffgln2/dgl2-2-07.pdf und damit NICHT einfach zu lösen... Gruß Sina |
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also für die Temperaturstromdichte gilt es gilt die kontinuitätsgleichung Das ist die Wärmeleitungsgleichung ausgedrückt in Temperaturen. Es handelt sich um eine partielle DGL. ist der Wärmeleitungskoeffizient und als solcher einer Materialkonstante. Nach diesen vorbereitenden Überlegungen zu deiner Frage. Sagen wir es handelt sich um einen Stab der Länge L. Es fehlt noch eine Angabe, nämlich auf welcher Temperatur der Stab sich befand bevor die eine Seite erhitzt wurde. Sagen wir mal der Stab war auf einer Temperatur . Eine Seite wird nun schlagartig auf erhitzt. Jetzt muss man geeignete Randbedingungen formulieren. Am einen Ende befindet sich ein Wärmebad der Temperatur und am anderen Ende kann meinetwegen keine Wärme mit der umgebung ausgetauscht werden. setzen wir das Wärmebad bei dann befindet sich das andere Ende bei und es gilt die Randbedingung Es gilt zudem und Man weiß, dass am Ende gelten muss Die Abweichung von dieser Endkurve entwickelt man in eine Fourierreihe, wobei man noch die Randbedingungen bei und ausnutzen sollte. Damit geht man in die DGL, wobei die Koeffizienten zeitabhängig sind. Dann erhält man eine gewöhnliche DGL für die koeffizienten. Man erhält eine Funktion . Ich habe mir jetzt nicht die Mühe gemacht das konkret auszurechnen. Man sollte aber koeffizienten erhalten, deren bedeutung für die zeitentwicklung exponentiell verschwindet. Genau genommen dauert es unendlich lange bis der stab überall erreicht. diese abweichung geht aber sehr schnell gegen null. Dieses verhalten kann man sehr einfach qualitativ deuten. Das temperaturgefälle nimmt immer weiter ab, so wird auch der wärmestrom immer geringer. der wärmestrom strebt gegen null, so dass es nach langer zeit kaum zu einer temperaturänderung kommt. eine minimale abweichung von wird es aber rein mathematisch noch geben, auch wenn sie vielleicht nicht mehr messbar ist. Genau genommen ist die Antwort auf deine frage "unendlich". Es macht aber Sinn nach der Zeit zu Fragen wann die Abweichung von einen vorgegebenen Wert unterschreitet. Man könnte auch eine Halbwertszeit definieren. |
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