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Zentraler Grenzwertsatz

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

Miausch aktiv_icon

14:49 Uhr, 02.08.2012

Hi Leute :-)

Ich verstehe irgendwie den ZGS bzw. die Erklärungen in unserem Skript dazu überhaupt nicht.

Bei uns im Skript steht zum ZGS Folgendes:

X_{i}

sind

i . i . d,

mit

E [X_{i}] = μ

und Var

[

X_i]

= σ^{2}

Für die Summe

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

gilt (das ist der ZGS):

lim_{n \to \infty} P [\frac{S_{n} - n μ}{σ \sqrt{n}} \leq x] = Φ (x)

Φ (x)

ist dabei die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

So weit ists mir klar: Für "grosse"

n

ist die Zufallsvariable

\frac{S_{n} - n μ}{σ \sqrt{n}}

standardnormalverteilt - das besagt der ZGS.

Weiter steht dann auch: "Man kann nachrechnen, dass

S_{n}

den Erwartungswert

E [S_{n}] = n μ

und die Varianz Var

[

S_n]

= n σ^{2}

hat."

So wie ich das verstehe, folgt das einfach erstens für den Erwartungswert aus der Linearität des Erwartungswertes und für die Varianz aus der Additivität der Varianz für unabhängige ZV (damit fällt die Kovarianz einfach weg) - und weil die Verteilung der ZV hier identisch ist.
Dabei ist hier noch nicht gesagt, dass es sich hier bei

μ

und

σ^{2}

um Erwartungswert und Varianz der (Standard-)normalverteilung handelt, oder?

Dann steht: "die Grösse:

S_{n}^{⋆} = \frac{S_{n} - n μ}{σ \sqrt{n}} = (S_{n} - E [S_{n}])

/(sqrt(Var

[

S_n]))

hat also den Erwartungswert 0 und die Varianz 1" - aber warum ist das nun so?

Und was ist der Punkt dieser Aussage, also warum soll führt man überhaupt

S_{n}^{⋆}

ein -
ie was spielt es für eine Rolle, wenn man

u . a

n μ

durch

E [S_{n}]

ersetzt?

Danke

Mauthagoras aktiv_icon

16:04 Uhr, 02.08.2012

Hallo,

ich versuche, der Reihe nach auf Deine Fragen einzugehen:

Genau, alle Aussagen über die Verteilung von

S_{n}

haben erstmal nicht direkt etwas mit dem ZGS zu tun und Deine Argumentation, wie man das herleitet ist auch genau richtig.

Erwartungswert und Varianz ergeben sich nun auf die gleiche Art (wobei die Varianz quadratisch homogen ist):

E [\frac{S_{n} - n μ}{σ \sqrt{n}}] = \frac{E [S_{n}] - n μ}{σ \sqrt{n}} = \frac{0}{σ \sqrt{n}} = 0,

V a r (\frac{S_{n} - n μ}{σ \sqrt{n}}) = \frac{V a r (S_{n})}{σ^{2} n} = \frac{σ^{2} n}{σ^{2} n} = 1 .

S_{n}^{*}

führt man nun ein, weil dies nach dem ZGS in Verteilung gegen die sehr klassische Standardnormalverteilung konviergiert. Der Vorteil, wenn man

n μ

durch

E [S_{n}]

ersetzt, besteht darin, dass man dann

μ

nicht mehr zu kennen braucht.

Miausch aktiv_icon

18:08 Uhr, 02.08.2012

Ah ja klar...folgt natürlich wiederum aus den Eigenschaften der Varianz und des Erwwertes, danke!!

Sehr gut strukturierte Antwort btw! Und Cantor-Sets :-)

Mauthagoras aktiv_icon

18:56 Uhr, 02.08.2012

Danke. Gern geschehen.

Ja, gut erkannt.

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