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Zentrales Kraftfeld, Divergenz

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, divergenz, zentrales Kraftfeld

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14:32 Uhr, 06.10.2012

Hi!

Dass

r o t \vec{F} = \vec{0}

ist, hab ich schon bewiesen. Die Divergenz macht mir Probleme..

Es ist zu zeigen, dass die Divergenz des zentralen Kraftfeldes

\vec{F} = 0

ist.

Bei mir sieht das aber folgendermaßen aus:

\vec{F} (\vec{x}) = \vec{F} (x, y, z) := (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

d i v \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = (\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

Somit habe jetzt

\frac{\partial}{\partial x}

angewendet auf

x

plus

\frac{\partial}{\partial y}

angewendet auf

y

plus

\frac{\partial}{\partial z}

angewendet auf

z

\frac{\partial x}{\partial x} = 1

usw.

damit wäre meine Lösung

d i v \vec{F} = 3

und nicht 0. Was mache ich falsch? Ist

\frac{\partial x}{\partial x}

doch gleich Null? Falls dem so ist - wieso?

Lg Nicki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

smoka

14:49 Uhr, 06.10.2012

Hallo,

die Rotation ist tatsächlich Null, das heißt, das Feld ist wirbelfrei. Die Divergenz ist allerdings ungleich 0,

div \vec{F} = 3

ist korrekt. Das kannst Du Dir auch anschaulich klar machen. Das radialsymmetrische Feld entspricht z.B. dem einer Punktladung. Die Divergenz entspricht also den Quellen und Senken eines elektrischen Feldes und eine Punktladung ist Quelle eines ekektr. Feldes. Es sollte eher verwundern, wenn 0 rauskäme.

Gruß,

smoka

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15:10 Uhr, 06.10.2012

Eigenartig... in der Angabe steht, dass

d i v \vec{F} = 0

sein soll. Auf diese Aussage bin ich bei meiner Suche nach einer Lösung im Internet auch gestoßen?

Naja.. dann belass ich es derweil mal dabei. Danke dir!

Aber

\frac{\partial x}{\partial x} = 1

oder? Einerseits denk ich mir wenn ich x zweimal ableite erhalte ich 0, aber das ist doch her nicht der Fall? Bin jetzt schon total verunsichert. Für

r o t \vec{H}

sollte doch auch

\vec{0}

rauskommen, aber da erhalte ich folgenden Vektor: {0,0,2} =/ die 2 aufgrund

\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y}

Lg Nicki

smoka

16:05 Uhr, 06.10.2012

"Eigenartig... in der Angabe steht, dass divF⃗=0 sein soll. Auf diese Aussage bin ich bei meiner Suche nach einer Lösung im Internet auch gestoßen?"
Hab ein wenig Vertrauen in Dein eigenes Verständnis. Nur weil was irgendwo steht ist es noch lange nicht richtig.

Ja,

\frac{\partial}{\partial x} x = 1

und nochmalige Ableitung würde 0 ergeben, das ist aber hier nicht verlangt.

Auch

rot \vec{H}

hast Du richtig berechnet.

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13:58 Uhr, 09.10.2012

Kollegen haben gemeint, dass man mit den Konstanen und ein wenig "Spielerei" sehr wohl auf Null kommt.

\vec{F} (\vec{x}) = \frac{C}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} \cdot (\begin{array}{c} - x \\ - y \\ - z \end{array})

Und da bekomm tatsächlich auch ich Null raus =]

Glg Nicki

Sina86

14:27 Uhr, 09.10.2012

Hi Niki,

es gibt eine schöne Interpretation für Divergenz. Man kann sich ein Feld als einen Fluss vorstellen. Gibst du nun feste Werte für

x, y, z

vor, so liefert das Feld

F (x, y, z)

einen Vektor. Ein Vektor transportiert zwei Informationen: Eine Richtung und eine Länge. Hier kann man die Richtung als die Richtung des Flusses, und die Länge (also die Norm) als die "Strömungsstärke" des Flusses interpretieren.

Die Divergenz in einem Punkt

v

kann man sich nun wie folgt vorstellen: Um

v

wird ein sehr sehr sehr kleiner Würfel (infinisimital klein) gelegt, dessen Kanten parallel zu den Koordinatenachsen sind. Die Divergenz ist nun eine Aufbilanzierung des Gesamtflusses durch die Würfelwände. Ist die Bilanz positiv, so "strömt" mehr aus dem Würfel aus, als "einströmt", dann muss im Würfel etwas zum "Fluss" hinzukommen und man redet von einer Quelle. Ist die Bilanz negativ, so verschwindet der "Fluss" und man redet von einer Senke.

Nimmst du z.B. als Extrembeispiel

v = (1, 0, 0)

einen Punkt auf der x-Achse, so sieht man leicht, dass nur durch eine Würfelwand der Fluss in den Würfel einströmt (nämlich durch diejenige, die am nächsten am Ursprung ist), jedoch schon auf der gegenüberliegenden Seite strömt mehr auf (da die Stromstärke mit Abstand zum Urpsprung linear zunimmt), deswegen muss

v

eine Quelle sein. Es wird sogar noch schlimmer, denn durch jede Würfelwand außer derjenigen, die dem Ursprung zugewendet ist, strömt der Fluss aus.

Bei deinem abgeändertem Beispiel hast du den Vorfaktor

\frac{c}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}}

. Dies ist ja keine Konstante, vielmehr werden die Vektoren des Feldes immer kürzer, je weiter sie sich vom Urpsprung entfernen. D.h. der Fluss wird kontinuierlich "gebremst", was dazu führt, dass genau so viel durch die eine Wand in den Würfel einströmt, wie aus den anderen 5 rausströmt.

Gruß
Sina

smoka

11:45 Uhr, 10.10.2012

"Kollegen haben gemeint, dass man mit den Konstanen und ein wenig "Spielerei" sehr wohl auf Null kommt."

Das Vektorfeld ist auch ein ganz anderes, als das welches Du zuerst gepostet hast... Wenn Du die Aufgaben falsch abtippst/abliest brauchst Du Dich auch nicht zu wundern, dass nicht das gewünschte Ergebnis rauskommt.

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15:03 Uhr, 10.10.2012

Steht ja nicht in der Angabe was

\vec{F}

und was

\vec{H}

ist. Danke für eure Hilfe.

Lg Nicki

smoka

15:12 Uhr, 10.10.2012

"Steht ja nicht in der Angabe was F⃗ und was H⃗ ist"
Woher weißt Du dann, wie F und H aussehen?

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16:12 Uhr, 10.10.2012

Skriptum. War ein dummer Fehler von mir, nur den Vektor her zu nehmen.

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