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Zentrische Streckungen --> Streckungsfaktor k

Universität / Fachhochschule

Tags: Berrechnung, Streckfaktor errechnen, zentrische Streckung

Kikki aktiv_icon

18:59 Uhr, 18.06.2010

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem (gibts auch nicht-rechtwinklige?)
sei

O = O (0; 0)

und Δ ABC

(O; k 1)

A' B' C' (O; k 2)

A'' B'' C'' .

Sie kennen:

a) A (3; 6), B (3; 3), C (6; 3)

und

A' (6; 12), B'' (- 4; - 4)

b) A (- 4; 4), B (- 8; 4), C (- 7; 0)

und

A' (2; - 2), B'' (12; - 6)

Berrechnen Sie

k 1, k 2

und die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte.

Was darauf folgt ist die Überprüfung der Berrechnungen durch Konstruktion. Und, das bekomm ich auch hin - also die Konstruktion

-,

zumindest bei der Aufgabe

a)

. Leider nicht die Rechnungen. Bei

b)

ist es so, dass ich Δ ABC gar nicht durch

O

strecken kann?!

Leider macht es mir meine Literatur sehr schwierig, da keine Beispiele dergleichen vorweg mal an- oder durchgesprochen werden.

: (

Wie berrechne ich den Streckungsfaktor k?

Da ich die Ergebnise habe, leider jedoch nicht den Weg zum Ziel würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand anreize geben könnte.

Liebe Grüsse
Kik(k)i

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Strahlensatz und Ähnlichkeit

magix aktiv_icon

22:06 Uhr, 19.06.2010

Ich bin mir nicht sicher, dass das, was ich hier mache richtig ist. Aber da dir sonst niemand antwortet und du die Lösung nach deiner Aussage kennst, können wir es ja mal probieren.

Ich würde folgende Lösung anbieten:

a)

A' (6; 12), B' (6,6), C' (6; 3) k_{1} = 2

A'' (- 4; - 8); B'' (- 4; - 4); C'' (- 8; - 4) k_{2} = - \frac{4}{3}

b)

A' (2; - 2); B' (4; - 2), C' (3,5; 0) k_{1} = - \frac{1}{2}

A'' (6; - 6), B'' (12; - 6), C'' (10,5; 0) k_{2} = - \frac{3}{2}

Gruß Magix

sarose

22:26 Uhr, 19.06.2010

Zu deiner Frage der verschiedenen Koordinatensysteme habe ich hier ein paar Infos.

Es gibt
- rechtwinklige Koordinatensysteme (das kennst du ja bereits)
- schiefwinklige Koordinatensysteme
- das Polarkoordinatensystem
- Kugelkoordinatensysteme (braucht man in der Physik und bestimmt auch in der Geographie)
- Zylinderkoordinatensysteme braucht man in der Elektrotechnik
- astronomische Koordinatensysteme für die Nautik (man nennt sie Horizontalsystem und Äquatorsysteme)

Kikki aktiv_icon

13:10 Uhr, 21.06.2010

So, Hallo noch mal und vielmal entschuldigung, dass ich mich erst jetzt wieder melde...

@ magix:

Danke für deine Antwort!
Die Lösung (en) die ich habe lautet:
für

a)

A (3; 6) B (3; 3) C (6; 3)

A' (6; 12) B' (6; 6) C' (12; 6)

A'' (- 4; - 8) B'' (- 4; - 4) C'' (- 8; - 4)

aus

x' = k 1 + x

folgt für A und

A' : 6 = k 1 + 3; k 1 = 2

aus

x'' = k 2 + x'

forgt für

B'

und

B'' : - 4 = k 2 \cdot 6; k 2 = - \frac{2}{3}

für

b)

A (- 4; 4) B (- 8; 4) C (- 7; 0)

A' (2; - 2) B' (4; - 2) C' (3,5; 0) k 1 = - \frac{1}{2}

A'' (6; - 6) B'' (12; - 6) C'' (10,5; 0) k 2 = 3

Stimmen also soweit mit deinen Überein Magix 
Jetzt meine Frage:
Wo setzte ich an um dahin zu kommen. Ich bilde mir ein zwischenzeitlich verstanden zu haben, wie man "k" berechnet. Dazu bin ich jetzt hingegangen und habe mit dem Geodreieck die Strecken von

O

zu den Eckpunkten gemessen und diese mit dem Faktor „k“ multipliziert. Ist das soweit richtig?
Allerdings komme ich bislang auf keinem anderen Weg zu den Koordinaten, ausser eben diese abzumessen, einzutragen und dann abzulesen. Wie aber kann ich diese berechnen, ohne davor ein Koordinatenkreuz zeichnen zu müssen, alles einzutragen … etc.
Die darauf folgende Aufgabe wäre eben gewesen, eine Konstruktion zu machen und mit der Konstruktion diese beiden Aufgaben

a)

und

b)

damit zu überprüfen. Die Konstruktion stimmt mit den Daten überein, die ich als Lösung vorweggegeben habe und auch mit der bildlich gegebenen Lösung. Aber ich muss ja wissen wie ich dahin komm  Hab das Gefühl, dass ich mir da selber im Weg rum steh und die Antwort vielleicht schon kenne. 
@ sarose:

Danke für das Add-on! Weiss jetzt nur noch nicht, ob ich mich darüber freuen oder heulen soll ;-)

Liebe Grüsse
Kiki

magix aktiv_icon

13:44 Uhr, 21.06.2010

Hallo,

ich muss jetzt leider zur Arbeit, aber ich erkläre dir heute abend, wie es funktioniert Keine Sorge, das ist überhaupt nicht schwierig.

Bis dann

Magix

Kikki aktiv_icon

14:43 Uhr, 21.06.2010

:-) Supi! Vielen Dank! :-) Bin heut Abend auch wieder online...

magix aktiv_icon

18:30 Uhr, 21.06.2010

So, dann will ich mal wie versprochen versuchen, dir meine Vorgehensweise zu erklären.

Wenn man, wie in deiner Aufgabe Punkte und deren Bildpunkte gegeben hat, kann man daraus den Streckungsfaktor berechnen.

z . B

. hast du den Punkt

A (3; 6)

und den Bildpunkt

A' (6; 12)

. Dann kann man den Streckungsfaktor berechnen als

(3; 6) \cdot k_{1} = (6; 12) \Rightarrow k_{1} = 2

Damit kann man dann für die Punkte

B (3; 3)

und

C (6; 3)

die Bildpunkte berechnen, indem man

(x \cdot k_{1}; y \cdot k_{1})

berechnet.
Also

B' (3 \cdot 2; 3 \cdot 2) = (6; 6)

Ist das so verständlich?

Kikki aktiv_icon

20:17 Uhr, 21.06.2010

Das ist verständlich,... und das ist alles???

magix aktiv_icon

20:21 Uhr, 21.06.2010

Mir scheint es jedenfalls ausreichend, um die Aufgabe zu lösen. Oder hab ich was vergessen?

Kikki aktiv_icon

20:45 Uhr, 21.06.2010

DANKESCHÖÖÖN!!! :-D)

Kikki aktiv_icon

21:53 Uhr, 21.06.2010

*amkopfkratzt*
Hi Magix,... doch noch mal...

also ich hab das jetzt, nachdem ich zuerst alle anderen Aufgaben die ich noch hatte gerechnet hab, die Aufgabe noch mal hoch genommen.
Jetzt seh ich aber gerade, ich komme auf das gleiche Ergebnis mit den Streckungsfaktoren wie du, aber diese unterscheiden sich in dem Ergebnis, was ich gepostet hab. Hab ich jetzt erst gemerkt.

k 2 (a)

ist bei mir

- \frac{3}{4}

(bei deiner Rechnung wohl auch) und die Planlösung ist

k 2 = - \frac{2}{3}

bei

b)

komme ich auch auf

- \frac{3}{2}

und nicht wie vorgegeben auf

k 2 (b) = 3

???

magix aktiv_icon

22:02 Uhr, 21.06.2010

Das liegt daran, dass du und ich das jeweils auf die Ausgangspunkte bezogen haben und nicht auf die Bildpunkte

A', B'

und

C'

.

Wenn du

k_{2}

durch

k_{1}

teilst, passt es wieder.

- \frac{4}{3} : 2 = - \frac{2}{3}

- \frac{3}{2} : - \frac{1}{2} = 3

Kikki aktiv_icon

22:20 Uhr, 21.06.2010

Ok! Damit komm ich klar! Dank dir vielmal!!!

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