Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Zerfällungskörper von Polynomen

Zerfällungskörper von Polynomen

Universität / Fachhochschule

Tags: Diskrete Mathematik, endlicher Körper

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
dbe18

dbe18 aktiv_icon

14:57 Uhr, 04.07.2011

Antworten
Hallo zusammen,

Aktuell habe ich das Problem eine konkrete Vorstellung von einem Zerfällungskörper von einem Polynom zu gewinnen.

Zunächst mein Wissenstand.
- Ich weiß das Zerfällungskörper eine Körpererweiterung darstellt und das Polynome aus einem Unterkörper in diesen in lineare Faktoren zerfallen.

Das bedeutet für ein beliebiges Polynom gibt es ein oder mehrere Linearfaktoren, die Elemente einer Körpererweiterung sein sollen.

Nun stellt mein Skript plakativ die Aussage in den Raum

g(x)=x2+x+1 besitzt seinen Zerfällungskörper in F4 (endlicher Körper mit 4 Elementen). Auch steht nirgends beschrieben aus welchen Körper g stammt. Ich nehme mal an es ist F2 und somit ist es irreduzibel über F2. Wie sieht denn jetzt so ein Zerfällungskörper aus und wie kann ich ihn bestimmen.

Übrigens kann ich mir nicht genau vorstellen was F4 konkret bedeutet. Ich nehme mal an, dass F4 aus eben 4 Polynomen ersten Grades besteht. Für eine endliche Körpererweiterung bedarf es aber noch eines irreduziblen Polynoms, von dem es jedoch auch keine Spur gibt. Entweder habe ich vieles nicht verstanden oder mein Skript impliziert viele Informationen

Ich hätte das gerne verstanden nur kann ich mir aktuell einfach nicht helfen. Für ein nachvollziehbares Beispiel wäre ich sehr dankbar.

viele Grüße und schon ein mal Danke im Voraus
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

09:59 Uhr, 05.07.2011

Antworten
Hallo,

es ist nicht ganz so einfach, darauf zu antworten.
Passende Erweiterungskörper fallen ja nicht vom Himmel.

Hier könnte man der Einfachheit halber so argumentieren:
Zunächst so, wie du begonnen hast: Das Polynom f:=x2+x+1 ist über F2 irreduzibel.
Nun kann man den Satz von Kronecker bemühen, der einen Körper K:=F2[X]/(x2+x+1) garantiert, in dem das Polynom f eine Nullstelle hat. Das es in K eine Nullstelle hat, zerfällt es aus Gradgründen auch schon in diesem Körper.
Weiter kann man zeigen, dass K eine Körpererweiterung vom Grade 2 ist, d.h. der Körper K hat 22 Elemente (die Basis ist die Anzahl der Elemente von F2, der Exponent ergibt sich aus dem Grad der Körpererweiterung).

Somit ergibt sich ein Körper K, der vier Elemente hat UND in dem f zerfällt. Es erweist sich, dass K isomorph zu F4 ist.

Du willst dir darunter etwas vorstellen? Ich weiß nicht, was. Das ist ja gerade das Tolle an Algebra (oder Mathe allgemein), dass man die Vorstellung zugunsten der Regeln ablegen kann.

Mfg Michael