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Zerlegen in Faktoren - Problem

Schüler Fachoberschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Fachoberschule, Faktor, Zerlegen

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16:27 Uhr, 12.08.2009

Hallo Onlinemathe-Forum User!

Ich besuche Die FOS und hatte gestern meine erste Mathestunde nach den Ferien.
Wir erhielten einen Zettel mit „zahlreichen“ Aufgaben *haha* - Spaß bei Seite;

Die folgende Aufgabe macht mir Sorgen:

2. Zerlegen Sie in Faktoren:

(c

–

3 d) \cdot 4 a

–

c + 3 d = () \cdot ()

Leider hatte ich das in meiner vorherigen Schullaufbahn noch nicht (Hauptschule), könntet ihr mir also folgendermaßen helfen:

Was sind Faktoren?,
Was ist das Ziel beim Zerlegen?

Ich nehme jede Hilfe dankend an!

Mit freundlichen Grüßen Benjamin W.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:32 Uhr, 12.08.2009

Bei 6 mal 2 gleich 12 sind z.B. 6 und 2 die Faktoren.
Du musst hier das Distributivgesetz anwenden (ausklammern), es lautet ab+ac=a(b+c)
Man kann deinen Term auch so umschreiben: (c-3d)4a-(c-3d)

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16:49 Uhr, 12.08.2009

Tut mir leid ich werde aber aus deiner Antwort nicht schlau.

Könntest du etwas ins Detail gehen?

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16:51 Uhr, 12.08.2009

Wenn du konkret sagst was unklar ist dann gerne =)

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16:55 Uhr, 12.08.2009

Unklar ist eigentlich alles an dieser Aufgabe..

Könntest du eine Aufgabe die so ähnlich ist Schritt für Schritt lösen und mir jeden Schritt erklären? Das würde mir am meißten weiterhelfen.

Danke im Vorraus<!

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17:00 Uhr, 12.08.2009

Hab ich ja im Prinzip schon gemacht indem ich dir das Distributivgesetz hingeschrieben hab, du musst jetzt eigentlich nur noch identifizieren was in deiner Aufgabe a,b und c ist. Bis jetzt steht da ja eine Differenz bzw eine Summe mit den Summanden (c-3d)4a und -c+3d und daraus soll jetzt ein Produkt gemacht werden und das funktioniert eben durch ausklammern, sprich durch anwenden des oben erwähnten Distributivgesetzes.

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17:03 Uhr, 12.08.2009

Tut mir leid dies sagen zu müssen aber: Das war das erste mal, dass ich davon höre, wie wende ich es an ? Woran erkenne ich was

a, b

und

c

ist?

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17:21 Uhr, 12.08.2009

Ich nehme mal nen Stern als Malzeichen und zeige es mal an einem Zahlenbeispiel:

3*5+3*8=3(5+8)

Hier wäre

a=3
b=5
c=8

Analog funktioniert das auch mit sowas wie (c-3d)
Entscheidend ist, dass man dieses a identifiziert, also erkennt was man hier ausklammern muss.

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18:45 Uhr, 12.08.2009

Ich schätze, dass ich mir erstmal die Grundlagen des Ausklammerns reinziehen muss, denn was dort

a, b, c

ist kann ich einfach nicht sagen - ich checks einfach nicht

romanus aktiv_icon

18:49 Uhr, 12.08.2009

Hallo dataframe,
ich hoffe, Du hast nicht aus lauter Verzweiflung aufgegeben, sondern schaust noch mal rein.
Ich geh mal auf Deine ursprünglichen Fragen zurück:
"Was sind Faktoren?,
Was ist das Ziel beim Zerlegen?"
Die erste Frage ist hoffentlich klar geworden. Es sind mathematische Ausdrücke, die multipliziert werden. Dabei kann ein Faktor eine einfache Zahl sein,

z . B

. 5 oder auch

x,

es kann aber auch ein kompizierter Ausdruck sein, der in Klammern geschrieben wird

z . B

(23 + \frac{a - b}{5^{2}})

. Wichtig ist hierbei, dass die Ausdrücke multipliziert werden. So handelt es sich bei

a \cdot (b + c)

um den Faktor a und den Faktor

(b + c)

.
Zu Deiner 2. Frage: die Aufgabe lautete:
Zerlegen Sie in Faktoren:

(c

–

3 d) \cdot 4 a

–

c + 3 d = () \cdot ()

Zerlegen bedeutet hier nichts anderes als den Ausdruck

(c

–

3 d) \cdot 4 a

–

c + 3 d

in der Form von Faktoren zu schreiben, nämlich wie es hinter dem Ausdruck steht

= () \cdot (),

also (irgendwas).(irgendwas)
Beispiel: die Summe

(a \cdot b) + (a \cdot c)

soll in Faktoren zerlegt werden

- \to = (a) \cdot (b + c)

Viele Grüße

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19:09 Uhr, 12.08.2009

Erstmal Danke und Nein ich gebe nicht auf, Mathematik spielt eine große Rolle in meinem Leben nur leider bin ich nicht so der bringer, was ich aber ändern will.

Danke für die gute Erläuterung der Begriffe, jetzt zu der Aufgabe.

Wenn (

c - 3 d) \cdot 4 a - c + 3 d =

(irgendwas)*(irgendwas)
Wäre die Lösung dann:(

c - 3 d) \cdot 4 a - c + 3 d =

(4a)*(-3d²)?

Danke im Vorraus

anonymous

19:13 Uhr, 12.08.2009

Du kannst die Aufgabe auch umstellen...

(c

–

3 d) \cdot 4 a

– c+3d=()⋅()

4 a \cdot (c - 3 d) - c + 3 d

so, um eine Klammer aufzulösen rechnet man generell

a \cdot c + a \cdot d

usw...

4 a \cdot c - 4 a \cdot 3 d - c + 3 d

Zusammengefasst wäre es dann...

4ac-12ad-c+3d

Bei weiteren unklarheiten, ruhig Fragen.

Gruß

romanus aktiv_icon

19:54 Uhr, 12.08.2009

@ abacus: Du hast die Aufgabe vollkommen falsch verstanden! Der Ausdruck soll in Faktoren zerlegt werden und nicht in Summanden!!
@ dataframe: vergiss am besten was abakus geschrieben hat.
Jetzt zu Deiner Lösung.

(c - 3 d) \cdot 4 a - c + 3 d = (4 a) \cdot (- 3 d^{2})

ist leider falsch.
Tipp: einer der beiden Faktoren ist

(c - 3 d)

. Jetzt hast Du zwar vorne schon den Faktor

(c - 3 d)

stehen, aber hinten steht

- c + 3 d

. Doch da kann man was machen.

Viele Grüße
romanus

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20:49 Uhr, 12.08.2009

Hinten steht

- c + 3 d

.
Könnte ich durch eine Umkehroperation, also Klammern setzen das - vor dem

c

entfernen und dafür das plus invertieren? also wäre es dann doch auch

(c - 3 d)

?

Dann vielleicht sogar (c-3d)² ?

Shipwater aktiv_icon

21:29 Uhr, 12.08.2009

Hi,

richtig du kannst den Faktor

- 1

bei

- c + 3 d

ausklammern, dann entsteht

- (c - 3 d)

. Also du bist schon auf dem richtigen Pfad, nur wie du auf

{(- c + 3 d)}^{2}

kommst, verstehe ich nicht.

Also wir sind dann jetzt bei diesem Term angekommen:

(c

–

3 d) \cdot 4 a

–

(c - 3 d)

Und jetzt kannst du dir ja mal überlegen, was man hier am besten ausklammern sollte.

Gruß Shipwater

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21:35 Uhr, 12.08.2009

Naja es ist doch 2 mal(-c+3d), kann ich das dann so nicht schreiben?

Shipwater aktiv_icon

21:36 Uhr, 12.08.2009

Hallo,

nein

- (c - 3 d) \cdot - (c - 3 d)

wäre

{[- (c - 3 d)]}^{2}

.

Der Term lautet aber:

(c

–

3 d) \cdot 4 a

–

(c - 3 d)

Und das ist eine Differenz, da hilft nur ausklammern, um Faktoren zu erschaffen.

Gruß Shipwater

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21:39 Uhr, 12.08.2009

Ups, hatte den Rest nicht gesehen.

Ich würde jetzt vermuten, dass ich

4 a

in Klammern setzen würde

d . h .,

dass es jetzt so aussieht.

(2*c–3d)⋅(4a)

romanus aktiv_icon

21:43 Uhr, 12.08.2009

Du bist auf dem Richtigen Weg.

{(c - 3 d)}^{2}

ist aber falsch.
machen wir es nochmal ganz langsam:

(c

–

3 d) \cdot 4 a

–

c + 3 d = (c

–

3 d) \cdot 4 a

–

(c - 3 d)

wie Du richtig gesehen hast.
Jetz stellen wir

4 a

nach vorne (ist in meiner Meinung nach für später etwas leichter):

= 4 a \cdot (c - 3 d) - (c - 3 d)

jetzt kommt eine Umformung, die Dir vielleicht überflüssig vorkommt, aber sehr hilfreich ist

= 4 a \cdot (c - 3 d) - 1 \cdot (c - 3 d)

jetzt setzen wir noch Klammern, die ebenfalls überflüssig erscheinen:

= (4 a) \cdot (c - 3 d) - (1) \cdot (c - 3 d)

Vielleicht kommt ja jetzt schon der Aha-Effekt, sonst gibt es einen weiteren Tipp.

Shipwater aktiv_icon

21:48 Uhr, 12.08.2009

Du musst jetzt erneut ausklammern, um zu deinen Faktoren zu kommen. Schaue was sowohl in Minuend als auch in Subtrahend vorkommt.

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21:50 Uhr, 12.08.2009

"Jetz stellen wir

4 a

nach vorne (ist in meiner Meinung nach für später etwas leichter)"

Moment, kann ich mir die Aufgaben so hinlegen wie ich es möchte?

romanus aktiv_icon

21:53 Uhr, 12.08.2009

ja kannst Du, denn

(c - 3 d) \cdot 4 a = 4 a \cdot (c - 3 d),

nennt sich übrigens Kommunativgesetz.
allgemein gilt

a \cdot b = b \cdot a

(Beispiel:

3 \cdot 7 = 7 \cdot 3)

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21:55 Uhr, 12.08.2009

Ah..okay.

Nett das soviele Antworten kommen, dashier hilft mir auch sehr gut, ich wusste bis Heute gar nicht, dass es Minuend, Subtrahend, Faktor und Summand gibt(bzw. die Bedeutung).
"
=4a⋅(c-3d)-(c-3d) jetzt kommt eine Umformung, die Dir vielleicht überflüssig vorkommt, aber sehr hilfreich ist
=4a⋅(c-3d)-1⋅(c-3d) jetzt setzen wir noch Klammern, die ebenfalls überflüssig erscheinen:
=(4a)⋅(c-3d)-(1)⋅(c-3d)"

Okay die Zeilen scheinen mir Sinnvoll zu sein, aber ich nehme mal das alte Beispiel, dass man Äpfel nicht mit Birnen behandeln kann also kann ich doch uch nicht

- (1)

und

(4 a)

in Verbindung bringen oder?

Also ich weiss im moment wirklich nicht was ich jetzt noch machen kann, außer, dass durch

(c - 3 d)

Redundanzen entstehen (da es ja schon zweimal vorkommt).

Shipwater aktiv_icon

21:56 Uhr, 12.08.2009

Hi,

das geht aber nur bei plus und mal. Also

2 \cdot 3 = 3 \cdot 2

und

2 + 3 = 3 + 2,

aber bei minus und durch musst du aufpassen, denn da gilt es nicht:

3 - 2 \neq 2 - 3

\frac{3}{2} \neq \frac{2}{3}

Zur Aufgabe: Du musst nun

c - 3 d

ausklammern.

Gruß Shipwater

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22:01 Uhr, 12.08.2009

Leute ich weiss wirklich nicht weiter.
Ich muss

(c - 3 d)

ausklammern, aber es steht doch schon in Klammern, soll ich noch welche einfügen? also

z . B

(c - [3 d])

? Das macht nicht viel Sinn finde ich...

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22:03 Uhr, 12.08.2009

Hallo,

mit Ausklammern ist nicht Klammern setzen gemeint. Sondern das Anwenden des Distributivgesetzes bzw. Faktorisieren (Faktoren erschaffen).

Hier nochmal das Allroundbeispiel:

a \cdot b + a \cdot c

Wenn man nun a ausklammert, entsteht:

a (\frac{a \cdot b}{a} + \frac{a \cdot c}{a})

Und hier kürzt sich dann das

\frac{a}{a}

weg, da

\frac{a}{a} = 1

ist.

Übrig bleibt:

a (b + c)

Kommst du nun weiter?

Gruß Shipwater

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22:04 Uhr, 12.08.2009

Jetzt machen wir mal etwas, wo sich jedem Lehrer die Haare sträuben werden, aber vielleicht hilft es für die Anschauung.
Wir haben:

4 a \cdot (c - 3 d) - 1 \cdot (c - 3 d)

was ergibt 5 Äpfel

- 1

Apfel? Ergebnis

= (5 - 1)

Äpfel
Das heisst

4 a \cdot (c - 3 d) - 1 \cdot (c - 3 d) = (4 a - 1) \cdot (c - 3 d)

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22:08 Uhr, 12.08.2009

4a⋅(c-3d)-1⋅(c-3d)=(4a-1)⋅(c-3d) . Punkt ? Wars das?

Ich mein, es steht doch zwei mal

(c - 3 d)

da, wieso ist es in der Gleichung am Ende nurnoch einmal?

Wenn die Aufgabe abgeschlossen ist, könntet ihr mir eine Übungsaufgabe zur Festigung geben?

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22:10 Uhr, 12.08.2009

Hi,

hast du schonmal was von der/den binomischen Formel/n gehört?

Das heißt, dass du bei so einem Term den gemischen Term nicht vergessen darfst.

Also wenn du die Gleichung ausmultiplizierst (Gegenteil von Ausklammern) entsteht

(4 a - 1) (c - 3 d) = 4 a \cdot (c - 3 d) - 1 \cdot (c - 3 d)

Also ganz heimlich ist das

(c - 3 d)

auch bei der Endgleichung zweimal da.

Gruß Shipwater

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22:12 Uhr, 12.08.2009

Ja von den binomischen Formeln habe ich schon gelesen, aber anwenden konnte ich nie

-_{-}

. Es sind, wenn ich mich rechtfertigen darf, relativ viele Rechenvorgänge in einem die ich nicht ausführlich gelehrt bekommen habe, deswegen bitte ich um Verständnis und bedanke mich bei allen.

Shipwater aktiv_icon

22:14 Uhr, 12.08.2009

Hi,

"Wenn die Aufgabe abgeschlossen ist, könntet ihr mir eine Übungsaufgabe zur Festigung geben?"

Ich könnte dir ja mal eine leichtere Aufgabe stellen und schauen, ob du es schaffst:

5 x \cdot 3 + 2 x \cdot 3 = () \cdot ()

\to

Mache Faktoren daraus (Klammere aus)

Gruß Shipwater

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22:20 Uhr, 12.08.2009

oder ab+3b+2a+6=(...)*(...)

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14:28 Uhr, 14.08.2009

Alles klar das Thema wurde heute nochmal durchgenommen, was mir fehlt waren einfach vorkenntnisse über die einzelnen rechenschritte, ich danke euch.

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