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Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge.

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

ahmedhos aktiv_icon

14:52 Uhr, 25.09.2010

Mich stört dieser Satz:

Anzahl der möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments (Urnenexperiment), in der

k

mal aus

n

Kugeln aus der Urne (mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) gezogen werden:

(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})

Ich hab eine Skizze mit einem Spezialfall gefertigt

(2 (k = 2)

mal Ziehung aus einer Urne mit

4 (n = 4)

Kugeln mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge)

Wie kann man die allgemeine Formel einfach anhand dieses Beispiels beweisen?

Danke schön für die Hilfe.

lg
Ahmed
EDIT: Herleiten wäre das richtige Wort!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

m-at-he

15:03 Uhr, 25.09.2010

Hallo,

"Wie kann man die allgemeine Formel einfach anhand dieses Beispiels beweisen?" - Gar nicht! Man kann allgemein gültige Formeln für unendlich viele Möglichkeiten für die Parameter

n

und

k

niemals durch eine endliche Menge an Beispielen beweisen, denn genau ein Gegenbeispiel genügt, damit die Formel eben nicht mehr allgemeingültig ist! Und niemals ist garantiert, daß unter den nicht betrachteten Fällen nicht ein Gegenbeispiel ist.

Willst Du aber die Formel an diesem Beispiel demonstrieren, dann mußt Du nur alle Möglichkeiten zusammenzählen und als Kontrolle den Wert der Formel errechnen. Die beiden Ergebnisse sollten gleich sein!

Zephro aktiv_icon

15:22 Uhr, 25.09.2010

welche allgemeine Formel?
Kann es sein, dass du die Formel

n!/k!(n-k)! meinst??

Diese Formel musst du außerdem gar nicht beweisen, weil

sie allgemein bekannt ist. Du kannst sie maximal herleiten und dazu müsste man sehr weit ausholen!

Dein Beispiel:
1*2*3*4/2*2=6

Es gäbe also 6 Möglichkeiten 4 Kugeln 2mal zu ziehen.(ohne Zurücklegen)

12
13
14
23
24
34
Mit Zurücklegen würde gelten

n+k-1 über k
d.H.
ich nehme für n=5
1*2*3*4*5/2*6=10

da für ohne zurücklegen gilt
n über k

12
13
14
23
24

34
11
22
33
44

Ich hoffe du verstehst was ich meine.

ahmedhos aktiv_icon

15:24 Uhr, 25.09.2010

(Willst Du aber die Formel an diesem Beispiel demonstrieren, dann mußt Du nur alle Möglichkeiten zusammenzählen und als Kontrolle den Wert der Formel errechnen. Die beiden Ergebnisse sollten gleich sein!)
Jo, beide ergeben

10

Ausgänge des Zufallsexperiments.

("Wie kann man die allgemeine Formel einfach anhand dieses Beispiels beweisen?" - Gar nicht!)

Führen wir mal das Zufallsexperiment mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge, dann erhalten wir

n^{k}

mögliche Ausgänge, was sich durch die Anschauung des Baumdiagramms leicht zeigen läßt. (Das reicht vollkommen als Beweis!)
Siehe das rote Baumdiagramm unten im Bild neben dem schwarzen.
- Bei der ersten Ziehung hast du

n

mögliche Ausgänge.
- Bei der ersten Ziehung hast du

n

mögliche Ausgänge.
.
.
.
- Bei der k-ten Ziehung hast du

n

mögliche Ausgänge.
Daraus ergeben sich die gesamt möglichen Ausgänge

\Rightarrow n \cdot n \cdot ... \cdot n_{k} = n^{k}

Betrachte

z . B

. das blaue Baumdiagramm und du hast eine allgemingültige Formel, die sich durch die Anschauung beweisen lässt, für die Ziehung "ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge":

- Bei der (ersten) Ziehung hast du

n = n - (0)

mögliche Ausgänge
- Bei der (zweiten) Ziehung hast du

n - (1)

mögliche Ausgänge
.
.
.
- Bei der k-ten Ziehung hast du

(n - (k - 1))

mögliche Ausgänge
Daraus ergeben sich die gesamt möglichen Ausgänge

n \cdot (n - 1) \cdot . .

\cdot (n - (k - 1))

Wenn man den obigen Term mit

\frac{(n - k)!}{(n - k)!}

erweitert

\Rightarrow n \cdot (n - 1) \cdot . .

\cdot (n - k + 1) \cdot \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!}

Wenn man für für die Ziehung "ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge" sich denkt, dass sich

k

Elemente

k!

Anordnungsmöglichkeiten haben, dann kann man mit dem Faktor

\frac{1}{k!}

kürzen um auf die allgemeingültige Formel dafür zu gelangen:

\Rightarrow \frac{n!}{(n - k)!} \cdot \frac{1}{k!} = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

Nun beim Fall "mit Zurücklegen ohne Reihenfolge" klappt das nicht mehr?!!

lg
Ahmed
EDIT: Herleitung von

(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})

wäre korrekter. Ob die Herleitung ein Beweis ist, ist fraglich (vielleicht?), aber das reicht für mich schon als Beweis.

Zephro aktiv_icon

15:30 Uhr, 25.09.2010

Deine allgemeine Formel ist übrigens.
(n+k-1)!/k!*(n-1)!

ahmedhos aktiv_icon

15:33 Uhr, 25.09.2010

Jo, klar.

(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix}) = \frac{(n + k - 1)!}{k! \cdot (n + k - 1 - k)!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! \cdot (n - 1)!}

lg
Ahmed

ahmedhos aktiv_icon

15:47 Uhr, 25.09.2010

Hallo zusammen,

Beim Fall "Ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge" kommt man durch die Anschauung auf

\frac{n!}{(n - k)!}

mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments.

Man wendet dieses Ergebnis auf den Fall "Ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge" und erhält für diesen Fall

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

mögliche Ausgänge (mithilfe der Überlegung, daß sich

k

Elemente

k!

Anordnungsmöglichkeiten haben)

Soweit so schön?

Beim Fall "Mit Zurücklegen mit Reihenfolge" kommt man auf

n^{k}

mögliche Ausgänge. Warum sagt man analog wie oben nicht, daß für den Fall "Mit Zurücklegen ohne Reihenfolge"

\frac{n^{k}}{k!}

mögliche Ausgänge gibt? Oder ist

(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix}) = \frac{n^{k}}{k!}

?!

lg
Ahmed

hagman aktiv_icon

15:31 Uhr, 27.09.2010

Wenn wir uns die Kugeln mit

1, ..., n

nummeriert denken, ist das Ergebnis eines Experiments eine Liste von

k

Zahlen aus

{1, ..., n}

.
Da die Reihenfolge der Ziehung keine Rolle spielt, können wir die Liste ebenso gut in eine Standardreihenfolge bringen,

d . h

. aufsteigend sortieren. Aus

3, 7, 1, 3, 4, 3

wird so beispielsweise

1,3,3,3,4,7

Wenn man jetzt zur ersten Zahl

0,

zur zweiten

1,

zur dritten 2 addiert usw., erhält man hieraus die Folge

1,4,5,6,8,12

Durch das Addieren ist garantiert, dass es sich um verschiedene Zahlen handelt. Dafür werden die Werte evt. größer als

n

.
Mach dir klar, dass die möglichen Ergebnisse genau den möglichen (sortierten) Ergebnissen beim Experimen

k

Ziehungen aus

n + k - 1

Kugeln ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Riehenfolge entsprechen!

ahmedhos aktiv_icon

19:23 Uhr, 27.09.2010

(Mach dir klar, dass die

...)

Ich weiss nicht, wie ich das mir klar machen soll, aber danke für deine Mühe.

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