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Zinssatz bei Sparplan ermitteln

Universität / Fachhochschule

Tags: Finanzmathematik, Sparkassenformel, Zinsrechnung

Seb87 aktiv_icon

16:52 Uhr, 04.07.2019

Hallo zusammen,

ich benötige eine Formel bzw. einen Rechenweg, um die durchschnittliche Verzinsung (konstanter Zins) bei einem Sparplan zu bestimmen. Berücksichtigt werden sollen hierbei die folgenden bekannten Variablen:

A =

Anfangskapital

E =

Sparrate

m =

Sparintervall/Anzahl unterjähriger Zahlungen

(1, 2, 4, 12)

d =

Dynamikfaktor (jährlich Erhöhung der Sparrate,

z . B

. um

5 %)

n =

Ansparzeit (nach Möglichkeit in Monaten)

K =

Endkapital

Aufgelöst werden soll nach dem unbekannten Zinsfaktor

= q

Zunächst habe ich versucht die Aufgabe mit einer Variation der Sparkassenformel zu lösen, die ich nach längeren Recherchen im Netz entdeckte. Leider bin ich jedoch an der Umstellung besagter Formel nach

q

gescheitert.

Nach weiteren intensiven Recherchen folgte dann die Erkenntnis, dass sich die Formel wohl gar nicht so ohne weiteres nach

q

auflösen lässt und

q

lediglich näherungsweise bestimmt werden kann.

Eine näherungsweise Bestimmung wäre auch ausreichend, jedoch finde ich diesbezüglich nirgends weitere Informationen.

Ich wäre wirklich sehr dankbar, falls mir hier jemand mit einer funktionierenden Formel bzw. einem Rechenweg helfen kann.

Bereits im Voraus - vielen Dank für eure Unterstützung!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Zinsrechnung

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16:56 Uhr, 04.07.2019

Hallo,

wie lautet denn die Formel aus die du gefunden hast?

Gruß

pivot

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17:03 Uhr, 04.07.2019

Wie wird verzinst? Unterjährig relativ oder effektiv? Oder nach Sparbuchmethode?
Bei letzterem brauchst du die Ersattsparrate?
Wird vor- oder nachschüssig gespart?

Das sollte zuerst geklärt werden. :-)

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17:11 Uhr, 04.07.2019

PS:
Nach

q

umstellen ist nur möglich, wenn

n

nicht größer als 3 ist.
Andernfalls brauchst du ein Näherungsverfahren.

Bereits für

n = 3

wird es unangenehm (Cardano-Formel).

Wie lautet die konkrete Aufgabe mit allen Zahlenwerten?

Seb87 aktiv_icon

17:29 Uhr, 04.07.2019

@pivot
Die erwähnte Formel lautet:

K = E \cdot q \cdot \frac{q^{n} - d^{n}}{q - d}

Damit geht es jedoch leider nicht!

@Supporter
Nach Möglichkeit soll ein konformer Zinssatz bestimmt werden (die Zinsperioden sollen monatlich sein, Zinseszins soll berücksichtigt werden). Gespart wird vorschüssig.

n

ist größer als 3

Nehmen wir als konkrete Aufgabe einmal folgendes Beispiel:

A = 0

(Anfangskapital)

E = 100

€ (Sparrate)

m = 12

(monatliches Sparintervall/Anzahl unterjähriger Zahlungen)

d = 5 %

(einmal jährlich erhöht sich die Sparrate um

5 %)

n = 120

(Ansparzeit

10

Jahre/120 Monate)

K = 20.000

€ (Endkapital)

q =

? (Ergebnis müsste sein

5,78 % p . a .)

Vielen Dank für die schnellen Antworten!

Edit: Ich habe nochmal recherchiert (Stichwort Cardanische Formeln) und bin dabei auf Iterationsverfahren nach Newton gestoßen. Ich vermute diese muss hier angewandt werden? Leider reichen meine Kenntnisse nicht aus, um aus den mir bekannten Informationen einen funktionierenden Rechenweg abzuleiten.

: (

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17:51 Uhr, 04.07.2019

Die Formel passt. Sie lässt sich aber nicht nach

q

umstellen für

n > 3

.
Du musst numerisch lösen.
Wegen der jährlichen Dynamik wirst du mit einer Ersatzsparrate arbeiten müssen.

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17:51 Uhr, 04.07.2019

Das ist die Formel für vorschüssige Zahlungen. Nun die Gleichung mit

q - d

multiplizieren.

K (q - d) = E \cdot q^{n + 1} - E \cdot d^{n} \cdot q

Klammer ausmultiplizieren.

K q - K d = E \cdot q^{n + 1} - E \cdot d^{n} \cdot q

Alles auf die rechte Seite.

0 = E \cdot q^{n + 1} - E \cdot d^{n} \cdot q - K \cdot q + K d

Wir sind an dem/den Werte(n) für

q

interessiert. Also alle Terme mit q der gleichen Potenz zusammenfassen.

0 = E \cdot q^{n + 1} - (E \cdot d^{n} + K) \cdot q + K d

Jetzt haben wir ein Polynom n+1-ten Grades. Die Koeffizienten sind

E, (E \cdot d^{n} + K)

und

K d

(Konstante) Die Gleichung lässt sich für

n > 2

nur mit einem Näherungsverfahren lösen, wie z.B. das Newton-Raphson Verfahren.

Edit:
Für das Newton-Raphson Verfahren muss die Funktion

f (q) = E \cdot q^{n + 1} - (E \cdot d^{n} + K) \cdot q + K d

abgeleitet werden. Da

f (q)

ein Polynom ist, ist das nicht so kompliziert.

Enano

18:53 Uhr, 04.07.2019

"Das ist die Formel für vorschüssige Zahlungen ..."

Ja, aber das soll doch wohl nicht heißen, dass die gegebenen Werte

1 : 1

für die entsprechenden Formelzeichen eingesetzt werden können, um auf das richtige Ergebnis zu kommen, oder ?

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19:57 Uhr, 04.07.2019

@Enano

Nein. Das hat auch niemand behauptet.

Enano

20:39 Uhr, 04.07.2019

"Das hat auch niemand behauptet."

Das stimmt, aber es wäre doch für Seb87 hilfreich und nicht irreführend, wenn

z . B

. "sein"

E

und

d

deinen entspräche, zumal er ja die Formel schon selbst genannt hatte.

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21:06 Uhr, 04.07.2019

Am hilfreichsten ist es wenn Seb87 zurückmeldet. Alles im vorhinein vorzukauen ist nicht notwendig. Es ging im Ausgangspost auch erst einmal um die Frage ob man nach q auflösen kann.

PierreMRodrigues aktiv_icon

16:29 Uhr, 26.10.2023

Hallo pivot,

wie wäre die Formel, wenn man die Dynamik raus lässt?

DANKE!!

pivot aktiv_icon

17:45 Uhr, 26.10.2023

Eine Formel ohne Dynamik ist die Formel ohne dem Parameter d.

K = E \cdot q \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

Auch hier lässt sich die Formel nicht algebraisch nach

q = 1 + i

auflösen, mit i=Zinssatz.
Wenn es nur um die Anwendung geht, dann kannst du die Gleichung z.B. in Wolfram alpha eingeben.

www.wolframalpha.com

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