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Zufallsgenerator ergibt 4 Ziffern aus {0-9}

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Kombinatorische Optimierung

Tags: Binomialkoeffizient, Kombinatorik, Kombinatorische Optimierung, Statistik, Stochastik

halihlao aktiv_icon

16:34 Uhr, 12.02.2023

Hallo,

die Aufgabenstellung findet ihr im Bild.
Bei dieser Aufgabe habe ich ab dem dritten Unterpunkt (iii) Probleme die Lösung nachzuvollziehen.

i)

Hier ist mir klar das man

\frac{10}{10^{4}} \cdot \frac{9}{10^{4}} \cdot \frac{8}{10^{4}} \cdot \frac{7}{10^{4}}

rechnen muss.

i i)

Dann

\frac{10}{10^{4}} \cdot \frac{1}{10^{4}} \cdot \frac{9}{10^{4}} \cdot \frac{8}{10^{4}}

i i i)

Hier haben wir dann jedoch

(4

über

2) \cdot (10

über

2) / 10^{4}

gerechnet.

(4

über

2)

damit alle Platz-Möglichkeiten für 2 Zahlen berechnet werden, richtig? Und dann

(10

über

2)

damit aus

10

Möglichkeiten 2 Zahlen gezogen werden?

i v)

Hier funktioniert

(4

über

3) \cdot (10

über

3) / 10^{4}

jedoch nicht. Ich verstehe nicht ganz wieso dies nicht funktioniert. Hierfür bräuchte ich bitte eine Erklärung.

Schonmal vielen Dank.

MfG Peter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Punov aktiv_icon

17:51 Uhr, 12.02.2023

Hallo, halihlao!

(i) Deine Lösung ist so nicht korrekt, ich nehme an, du meinst

\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1 0^{4}}

.

(ii) Auch nicht korrekt. Es muss

\frac{10 \cdot (\binom{4}{2}) \cdot (\binom{9}{2}) \cdot 2}{1 0^{4}}

lauten. Die Begründung ist analog zu (iv).

(iii) ist korrekt.

(iv) Hier muss es

\frac{(\binom{10}{2}) \cdot (\binom{4}{3})}{1 0^{4}}

sein, denn du hast

(\binom{10}{2})

Möglichkeiten zwei verschiedene Zahlen zu wählen (die eine kommt drei Mal vor, die andere ein Mal) und dann

(\binom{4}{3})

Möglichkeiten, die eine Zahl, die drei Mal auftreten soll, zu positionieren.

Viele Grüße

calc007

19:04 Uhr, 12.02.2023

Mit Zahlenhaufen ist es eben so eine Sache. Die gewinnen erst Verständnis und Leben, wenn man auch erklärt, was du darunter verstehen wolltest.

Ich will dringend ahnen, dass deine

{(10^{4})}^{4}

ein wenig Leichtsinnsfehler-Verdoppelung-Schreibfehler waren
und eigentlich entweder

\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{1}{10^{4}}

gemeint war.
Soweit zum Nenner. Der sollte ja dann klar sein.

Ich beschränke mich im Folgenden auf die Möglichkeiten im Zähler.
zu ii)
Dein

10 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 8

könnte zum Gedanken passen, dass die Ziffer, die an erster Stelle auftritt sich gleich an zweiter Stelle wiederholt.
Muss das sein? Denk mal darüber nach...

zu iii)
Ja,

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})

"damit alle Platz-Möglichkeiten für zwei Zahlen berechnet werden"
Ja,

(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})

"damit aus

10

Möglichkeiten 2 Zahlen gezogen werden".
Aber
überleg mal:

>

Ich könnte erst mal die Ziffer 7 wählen,

>

und an die Stellen 1 und 2 legen,

>

und dann die Ziffer 3 für das verbleibende Paar wählen.
Kurz gesagt: das gäbe die Ziffernfolge:

7733

ODER

>

ich könnte erst mal die Ziffer 3 wählen,

>

und an die Stellen 3 und 4 legen,

>

und dann die Ziffer 7 für das verbleibende Paar wählen.
UFFFFFFFFFF, das gibt ja auch:

7733

!?!?!?!?!?!?

PS: Vielleicht mache ich jetzt auch deinen Kopf verrückt. Die Rechnung mag ja richtig sein. Aber die Begründung noch unvollständig.

zu iv)
Was soll denn

(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})

sein ????????

Man kann bestimmt furchtbar kompliziert und auf tausenderlei Wegen eine Lösung suchen.
Aber warum umständlich über Binomial-Koeffizienten, wenn man mit einfachsten Gedankengängen einfach auch:

>

Wenn 3 Ziffern einen Drilling bilden, wie viele Ziffern bleiben dann noch für den Rest übrig?

>

Wie viele Möglichkeiten hast du, eine Ziffer für diese Einzelziffer zu wählen?

>

Wie viele Stellen stehen zur Wahl, um diese Einzelziffer zu platzieren?

>

Wie viele Möglichkeiten hast du dann noch, eine Ziffer für den Rest zu wählen?

\Rightarrow >

fertig!

HAL9000

09:44 Uhr, 13.02.2023

Bei all den Betrachtungen sollte der letzte Satz beachtet werden: Die Kontrollmöglichkeit, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten (i)-(v) gleich 1 sein muss.

Übrigens: Wer programmiertechnisch mehr auf dem Kasten hat als in Kombinatorik, kann für dieses sehr kleine Beispiel auch rasch alle

1 0^{4}

Ziffernkombinationen durchrattern und kategorisieren, und sich am Ende zur Kontrolle ausgeben lassen, wieviel Zahlen in jede Kategorie gefallen sind. ;-)

Punov aktiv_icon

10:51 Uhr, 13.02.2023

Hallo!

Okay, dann fasse ich mal zusammen.

Wegen

4 = 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1

gibt es fünf verschiedene Fälle:

(i) Alle vier Zahlen sind identisch: Dafür gibt es

10

Möglichkeiten.

(ii) Eine Zahl tritt drei Mal auf, eine andere Zahl ein Mal: Dafür gibt es

10 \cdot (\binom{4}{3}) \cdot (\binom{9}{1})

Möglichkeiten.

(iii) Zwei verschiedene Zahlen tauchen jeweils zwei Mal auf:

(\binom{10}{2}) \cdot (\binom{4}{2})

Möglichkeiten

(iv) Eine Zahl taucht zwei Mal auf und zwei andere Zahlen jeweils ein Mal:

10 \cdot (\binom{4}{2}) \cdot (\binom{9}{2}) \cdot 2

Möglichkeiten

(v) Vier unterschiedliche Zahlen:

(\binom{10}{4}) \cdot 4!

Möglichkeiten

Man rechnet nach, daß

\frac{10 + 10 \cdot (\binom{4}{3}) \cdot (\binom{9}{1}) + (\binom{10}{2}) \cdot (\binom{4}{2}) + 10 \cdot (\binom{4}{2}) \cdot (\binom{9}{2}) \cdot 2 + (\binom{10}{4}) \cdot 4!}{1 0^{4}} = 1

.

Viele Grüße

Randolph Esser aktiv_icon

13:58 Uhr, 13.02.2023

Hallo,

hier meine Version, siehe Bild.

HAL9000

15:34 Uhr, 13.02.2023

Als kleiner Programmierspaß noch das angesprochene "Durchzählen" aller

1 0^{n}

Variationen in der Python-Variante. Aber Obacht bei Anwendung für

n > 7

, könnte eine längere Kaffeepause werden. :-D)

P.S.: Am Ende der PNG-Datei habe ich den Quelltext in ASCII untergebracht. Diesen schmutzigen Trick musste ich verwenden, da das hiesige Forum mir unverständlicherweise nicht das Anhängen von Textdateien gestattet.

EDIT: Hmm, die Forensoftwäre ändert auch die Binärdaten des Bilds - ist wirklich schwer auszutricksen. Ok, dann den Programmcode eben als QR-Muster.

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