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Zufallsvektor (X,Y)

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

She-Ra aktiv_icon

13:13 Uhr, 22.01.2015

HALLO,

ich sitze gerade an der folgenden Aufgabe:

Der Zufallsvektor

(X, Y)

sei gleichverteilt auf

K (M; 1)

. Ich soll zeigen, dass die Koordinaten

X

und

Y

unabhängig sind.

Allgemein heißen zwei Zufallsvariablen unabhängig wenn für alle

x_{i}, y_{j}

gilt:

P (X = x_{i}, Y = y_{j}) = P (X = x_{i}) \cdot P (Y = y_{j})

.

Und dann kenne ich ja noch die Implikation, dass Wenn

X

und

Y

unabhängig sind ist COV(X;Y)=0 aber die Rückrichtung gilt halt nicht.

Also ich hab das folgendermaßen gelöst:

Sei

P

die Gleichverteilung auf

K

und

K (M; 1)

mit dem WK-Raum

(R^{2}, B (R^{2}), P)

. Dann sind die WK-Dichten von

X

und

Y

gegeben durch:

p_{1} (x) = \frac{2}{π} \sqrt{1 - x^{2}}

für

| x | \leq 1

und 0 sonst und

p_{2} (y) = \frac{2}{π} \sqrt{1 - y^{2}}

für

| y | \leq 1

und 0 sonst

Die Funktion

p_{1} (x) \cdot p_{2} (y)

kann aber nicht die Wk-Dichte von

P (x, y)

sein, denn

(X, Y)

ist gleichverteilt auf

K

und damit haben wir in Wirklichkeit die WK-Dichte

p (x, y) = \frac{1}{π}

für

x^{2} + y^{2} \leq 1

und 0 sonst. Damit stelle ich fest, dass

X

und

Y

nicht unabhängig sind.

Ich freue mich über Feedback :-)

Bzw. Über Verbesserungsvorschläge...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

12:00 Uhr, 23.01.2015

"Allgemein heißen zwei Zufallsvariablen unabhängig"

Nein, das ist nicht allgemein, diese Definition gilt nur für diskrete Zufallsvariablen, Du hast aber stetige.
Allgemein sind

X

und

Y

unabhängig, wenn

P (X \in A, Y \in B) = P (X \in A) P (Y \in B)

für beliebige (meßbare)

A, B

.

Was ist

K (M, 1)

She-Ra aktiv_icon

12:27 Uhr, 23.01.2015

Ah ja stimmt

X

und

Y

sind ja stetig... und

K (M; 1)

ist der Einheitskreis mit dem Mittelpunkt

M

und dem Radius

r = 1 . .

. Kann ich dann aber trotzdem den Rest der Argumentation so stehen lassen oder ist das dann falsch so?

DrBoogie aktiv_icon

12:52 Uhr, 23.01.2015

Alles klar.
Deine Dichten sind richtig und der Schluss auch,

X

und

Y

sind abhängig.
Kannst auch hier nachsehen, Beispiel 9.2.17:
www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.110/lehre/ws12/WR/Skript_9.pdf

She-Ra aktiv_icon

13:42 Uhr, 23.01.2015

Yippiii :-)

Danke

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