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Zug-und Druckstäbe: Statisch bestimmtes Stabsystem

Universität / Fachhochschule

Tags: zugstab

chillern1 aktiv_icon

16:49 Uhr, 06.10.2013

Moin,

habe hier eine Aufgabe und weiß leider gar nicht wie ich da anfangen muss.

Jemand eine Idee?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

chillern1 aktiv_icon

17:18 Uhr, 06.10.2013

Keiner eine Idee?

Werner-Salomon aktiv_icon

17:45 Uhr, 06.10.2013

Hallo chillern1,

stelle doch mal alle Gleichungen auf, die Du kennst.
Wie berechnet man die Kräfte in den Stäben unter der Annahme, dass die Stäbe nicht nachgeben?
Tipp: Kräftedreieck

Und wie verändert sich z.B. die Länge des Stabes1, wenn dort eine (Druck-)Kraft

F_{1}

wirkt?

Gruß
Werner

chillern1 aktiv_icon

17:47 Uhr, 06.10.2013

Hm würde das jetzt mit dem Knotenpunktverfahren machen. Aber da steht auch zB "gelenkig gelagert.." Wie berechne ich das?

Sorry weiß echt nicht weiter.

Werner-Salomon aktiv_icon

17:54 Uhr, 06.10.2013

Ja genau - Knotenpunktverfahren ist gut.
Nimm Dir den Knoten C und zeichne ein Kräftedreieck mit den drei Kräften

F

F_{1}

und

F_{2}

. Die Summe der Kräfte ist

= 0

Die Winkel sind alle bekannt - oder?

chillern1 aktiv_icon

17:54 Uhr, 06.10.2013

Brauche einen konrekten Ansatz. Weiß leider nicht wie man sowas löst...und bin überfordert.

Werner noch da?

Werner-Salomon aktiv_icon

18:00 Uhr, 06.10.2013

ich mache mal 'ne Zeichnung - Augenblick bitte.

Werner-Salomon aktiv_icon

18:09 Uhr, 06.10.2013

Du zerlegst alle Kräfte im Punkt C in ihre horizontalen (X-) und vertikalen (Y-) Anteile. In jeder Richtung muss dann die Summe aller Teilkräfte

= 0

sein.

Im angehängten Bild sind alle Kräfte in X-Richtung rot und die in Y-Richtung grün gezeichnet.

Kannst Du die Gleichungen aufstellen?

Werner-Salomon aktiv_icon

18:21 Uhr, 06.10.2013

Noch mal nachgefragt, bevor ich Dich auf den Holzweg lotse.
Sagt Dir das Prinzip der virtuellen Verschiebung (PvV) bzw. der virtuellen Arbeit etwas?
Falls nein, machen wir so weiter wie oben angefangen ...

Gruß
Werner

chillern1 aktiv_icon

18:22 Uhr, 06.10.2013

Ja:

\sum (F_{i} x) =

sin(60°)

\cdot S_{1}

-sin(45°)*

S_{2}

\sum (F_{i} y) =

cos(60°)

\cdot S_{1}

+cos(45°)*

S_{2} - F

Kenne diese Verfahren nicht. Aber wenn die leichter sind, würde ich diese gerne kennen lernen.

Werner-Salomon aktiv_icon

18:25 Uhr, 06.10.2013

richtig - und jetzt nach

S_{1}

und

S_{2}

auflösen ...

chillern1 aktiv_icon

18:29 Uhr, 06.10.2013

S_{1} = 1,098

S_{2} = 1,34

chillern1 aktiv_icon

18:33 Uhr, 06.10.2013

Wie gehts weiter?

Werner-Salomon aktiv_icon

18:41 Uhr, 06.10.2013

ungeduldig? ;-)

Weißt Du wie man aus der Dehnsteifigkeit und der Kraft die Längenänderung berechnet?
Es gilt:

ε = \frac{F}{E A}

und

ε = \frac{Δ l}{l_{0}}

chillern1 aktiv_icon

18:46 Uhr, 06.10.2013

Entschuldigung Werner, möchte nur gerne die Aufgabe lösen!

Leider kann ich mit deinen gegeben Gleichungen nichts anfangen.

Außer, dass ich schreibe:

ε_{1} = \frac{S_{1}}{E \cdot A_{1}}

und

ε_{2} = \frac{S_{2}}{E \cdot A_{2}}

schreibe. Oder ist das falsch?

Werner-Salomon aktiv_icon

18:53 Uhr, 06.10.2013

Ok -

ε

ist die Längsdehnung (hier -Stauchung) des Stabes und das Produkt

E A

ist für beide Stäbe gegeben. Jeder Stab wird um ein Stück

Δ l

gestaucht - mit

Δ l_{1} = ε_{1} l_{1} = \frac{F_{1}}{E A_{1}} l_{1}

das gleiche für den zweiten Stab - die Werte brauchst Du bloß einsetzen.

Wenn Du die neuen Stablängen bestimmt hast, musst Du dann die verschobenen Position des Punktes C bestimmen. Ich würde hier über einfache Geometrie gehen und über den Cosinussatz den neuen Winkel von

S_{1}

berechnen. Aus diesem und der neuen Länge

l_{1} - Δ l_{1}

kannst Du dann die Verschiebung von C berechnen.

chillern1 aktiv_icon

19:10 Uhr, 06.10.2013

Huhu,

also ich habe

Δ l_{1} = 2,09 \cdot 10^{- 8} m

und

Δ l_{2} = 1,32 \cdot 10^{- 7} m

raus.

Δ l

(also die Verschiebung des Knotens, welche Länge ist das denn genau??

Habe eine Skizze hochgeladen, so wie ich das bis jetzt verstehe. Aber wo ist da die Verschiebung des Knotens?

Werner-Salomon aktiv_icon

19:14 Uhr, 06.10.2013

Ich glaube Du hast bei der Berechnung das 'k' vor

k N

unterschlagen - oder. Die Kraft

F

sind

1, k N = 1500 N

Die neue Länge eines Stabes berechnet sich aus

l_{1 (n e u)} = l_{1} - Δ l_{1}

Werner-Salomon aktiv_icon

19:21 Uhr, 06.10.2013

ich habe eine Skizze angehängt, aus der Du die Positionen der Punkte A und B bestimmen kannst. Die Verschiebung des Punktes C ergibt sich dann dann ausgehend von beiden Punkten A und B mit den neuen um

Δ l

gekürzten Längen.

chillern1 aktiv_icon

19:32 Uhr, 06.10.2013

Also ist die Verschiebung der Abstand von

C

zur neuen Spitze ?

Wie kommst du auf die anderen Längen mit der Wurzel?..

Werner-Salomon aktiv_icon

19:41 Uhr, 06.10.2013

Der Punkt A ist schon reserviert ist das Gelenklager von Stab1. Ja - die neue Spitze ist da wo sich die beiden roten Stäbe treffen - nenne den Punkt mal besser

C ʹ

.

Auf die Wurzelausdrücke komme ich aus einfachen geometrischen Überlegungen (Mittelstufe).
Der horizontale Abstand von A und C ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck

\frac{1}{2} \sqrt{3} l_{1}

- oder eben

l_{1} \sin (60 °)

Der horizontale Abstand von C und B ist

\frac{1}{2} \sqrt{2} l_{2}

bzw. die Diagonale im Quadrat - oder eben

l_{2} \sin (45 °)

chillern1 aktiv_icon

19:44 Uhr, 06.10.2013

Oh okay. Kannst du mir vielleicht sagen wie ich weiter machen kann? Anscheinend liegen mit "einfache geometrische Umformungen" nicht.....

Werner-Salomon aktiv_icon

19:58 Uhr, 06.10.2013

Ok - gar nicht so einfach. Das ist im Grunde der schwierigere Teil.

Aus der zuletzt von mir geposteten Zeichnung kannst Du die Positionen der Punkte A, B und C in einem Koordinatensystem bestimmen. Lege das System in die untere linke Ecke, so dass die X-Koordinate von A

= 0

ist und die Y-Koordinate von B ebenfalls zu 0 wird.

Weiter hast Du gestauchten Längen von

l_{1}

und

l_{2}

bestimmt. Ich habe da

l_{1} - Δ l_{1} = 39, 99790843 c m

und

l_{2} - Δ l_{2} = 59, 99525342 c m

Jetzt sehe ich zwei Möglichkeiten - einmal über den Cosinussatz. Dazu muss man den Winkel

B A C ʹ

bestimmen und zu dem Winkel

0 A B

addieren - das Ergebnis sollte etwas weniger als 120° betragen. Mit diesem Winkel und der Länge

l_{2} - Δ l_{2}

kann man dann die Position von

C ʹ

bestimmen.

Oder über die Berechnung von den Schnittpunkten zweier Kreise, deren Mittelpunkte sind A und B und die Radien sind

l_{1} - Δ l_{1}

und

l_{2} - Δ l_{2}

. Kreisgleichungen aufstellen und Schnittpunkte berechnen - der obere ist der richtige.

Aus der Differenz von C und C' bekommst Du dann die Verschiebung.

chillern1 aktiv_icon

20:08 Uhr, 06.10.2013

Wow. Das ist echt kompliziert. Ich rechne das morgen früh mal und wenn ich nicht weiter komme frage ich nochmal nach. Danke, danke, danke für deine große Hilfe!:-)

Gute Nacht

Werner-Salomon aktiv_icon

20:08 Uhr, 06.10.2013

Hallo chillern1,

muss jetzt leider Schluss machen. Ich schaue morgen Abend noch mal rein; falls Du noch Fragen hast und Dir bis dahin niemand sonst geholfen hat.

Gruß
Werner

chillern1 aktiv_icon

10:47 Uhr, 07.10.2013

Huhu,

ich habe

0,04

raus,....leider sollte das Ergebnis

0,058

sein. Was hast du raus?

Werner-Salomon aktiv_icon

14:12 Uhr, 07.10.2013

Hallo chillern1,

ich habe folgende Verschiebung von

C

berechnet

Δ x = 9, 3 μ m

d.h. nach rechts

Δ y = - 57, 8 μ m

also nach unten

Gestern ist mir noch eine dritte Methode eingefallen, aus den Längenänderungen

Δ l_{1, 2}

die Verschiebung von

C

zu bestimmen. Die ist einfacher und nummerisch stabiler, da keine fast gleich großen Zahlen von einander subtrahiert werden müssen.
Dazu mache ich mir zu Nutze, dass die Verschiebung sehr klein ist, und die Geometrie des Stabwerks nicht relevant verändert wird. Da die Verschiebungen im Bereich von

μ m

liegen und die Stablängen im Bereich von mehreren

10 c m

, ist das zulässig.

Um das zu erklären, hänge ich eine Skizze ein. Dort habe ich den Punkt

C

im unverschobenen Zustand, die Längenänderungen und die beiden (blauen) Kreise eingezeichnet, auf denen sich die beiden gestauchten(!) Stäbe in

C ʹ

treffen. Unter der Annahme, dass die Kreise relativ zu den

Δ l

sehr groß sind, kann ich auch annehmen, dass sie sich im interessanten Bereich wie Geraden verhalten.
Das sind die beiden Geraden

h_{1}

und

h_{2}

in der Skizze. Beide stehen zwangsläufig senkrecht auf den unverschobenen Stäben.

Somit muss man bloß ihren Schnittpunkt

C ʺ

berechnen, der ausreichend dicht an

C ʹ

liegen muss. (Bem. die Skizze ist nicht massstabsgerecht)

Die Gleichungen für die Geraden lauten (Hessesche Normalform)

h_{1} : (\begin{array}{l} - \cos (30 °) \\ - \sin (30 °) \end{array}) \vec{x} = Δ l_{1}

h_{2} : (\begin{array}{l} \cos (45 °) \\ - \sin (45 °) \end{array}) \vec{x} = Δ l_{2}

Das sind zusammen zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, die Dir die Koordinate von

C ʺ

liefern.
Das Ergebnis ist tatsächlich das gleiche wie oben (wenn man rundet!). Der Unterschied von

C ʹ

und

C ʺ

ist weniger als

\frac{1}{100} μ m

- also vernachlässigbar.

Nochmal meine Werte für die Längenänderungen (s.o.

l - Δ l

)

Δ l_{1} = 20, 9 μ m

Δ l_{2} = 47, 5 μ m

Gruß
Werner

chillern1 aktiv_icon

18:47 Uhr, 07.10.2013

Hallo Werner,

kannst du das mit der Hesseschen Normalform nochmal erklären???

Wie kommt man da genau auf die Auflösung des Gleichungssystems?

Weil dein Ergebnis ist zu

100 %

richtig:-)

chillern1 aktiv_icon

19:02 Uhr, 07.10.2013

Und ich dachte, dass

Δ_{l}_1 = 39,99

und

Δ l_{2} = 59,99

ist? Wie kommst du auf die anderen Werte?

Werner-Salomon aktiv_icon

19:15 Uhr, 07.10.2013

Hallo chillern1,

Also die Hessesche Normalform setze ich mal als bekannt voraus.
(s. de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform
Allgemein gilt

\vec{n} \cdot \vec{x} = d

mit

∣ \vec{n} ∣ = 1

\vec{n}

steht senkrecht auf der Geraden und

d

ist der Abstand der Geraden vom Ursprung.
Jetzt werfe bitte noch mal einen Blick auf die zuletzt von mir gepostete Skizze. Dort habe ich ein Koordinatensystem in den Punkt

C

gelegt (das grüne). Der Abstand (also das

d

) von

h_{1}

vom Ursprung (also

C

) ist ohne zweifel

Δ l_{1}

.
Und die Stabrichtung (das

\vec{n}

) steht senkrecht darauf. Die Werte bekomme ich aus dem cos- (für X) und sin-Anteil (für Y). Der Betrag ist

= 1

, da die cos- und sin-Anteile auch im Einheitskreis so gelten - oder anders - es gilt immer

{cos}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ) = 1

Ich hatte geschrieben:

h_{1} : (\begin{array}{l} - \cos (30 °) \\ - \sin (30 °) \end{array}) \vec{x} = Δ l_{1}

h_{2} : (\begin{array}{l} \cos (45 °) \\ - \sin (45 °) \end{array}) \vec{x} = Δ l_{2}

das kann man auch schreiben als:

- \cos (30 °) \cdot x - \sin (30 °) \cdot y = Δ l_{1}

und

\cos (45 °) \cdot x - \sin (45 °) \cdot y = Δ l_{2}

.. alles klar?

Gruß
Werner

Werner-Salomon aktiv_icon

19:22 Uhr, 07.10.2013

Du schriebst: "Und ich dachte, dass Δl_1=39,99 und Δl2=59,99 ist? Wie kommst du auf die anderen Werte?"
Oh nein, das kann doch nicht sein. Wenn der Stab 1 40cm lang ist kann man ihn schwierig um 39,99cm stauchen, dann wäre er anschließend doch ziemlich kurz - oder?

Hatte ich schon geschrieben (s.o. 18:41 Uhr, 06.10.2013) allgemein gilt:

Δ l = ε \cdot l

und

ε = \frac{F}{E A}

Gruß
Werner

chillern1 aktiv_icon

19:27 Uhr, 07.10.2013

Hm Wener das verstehe ich nicht. Die neuen Längen von den Stäben sind doch

39,99

und

59,99,

durch diese Formel ermittelt? Die Differenz ist

0,01

aber nicht deine angegeben Längen..

Werner-Salomon aktiv_icon

19:33 Uhr, 07.10.2013

.. doch nur zuviel gerundet.

Δ l_{1} = 0, 00209 cm = 20, 9 μ m

dann ist

l_{1} - Δ l_{1} = 39, 99791 cm

Ich hatte oben schon erwähnt, dass die ersten von mir erwähnten Verfahren den Nachteil haben, dass sie nummerisch ungenau sind. Hier hast Du den Effekt.

chillern1 aktiv_icon

19:37 Uhr, 07.10.2013

Okay. Danke:-)

Werner-Salomon aktiv_icon

19:39 Uhr, 07.10.2013

Vielleicht hast Du auch nur was verwechselt

Δ l

ist die LängenÄNDERUNG

(l - Δ l)

ist die neue (gestauchte) Länge der Stäbe

1117331

1117097

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