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Zusammengesetzte Funktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Zusammengesetzte Funktionen

MrJegger aktiv_icon

11:21 Uhr, 10.08.2014

Hi,

gegeben ist eine Funktion

f (z)

sowie eine zusammengesetzte Funktion

g (f (z))

.

Kann ich jetzt die Funktion

g (z)

im Allgemeinen bestimmen ??

Viele Grüße

anonymous

12:42 Uhr, 10.08.2014

Im Allgemeinen ist dies wohl nicht möglich. Dazu müsste

f

surjektiv sein.

Wäre

f

beispielsweise umkehrbar, so könnte man die Umkehrung

f^{- 1}

in die zusammengesetzte Funktion

g \circ f

stecken und würde

g \circ f \circ f^{- 1} = g

erhalten.

Ist

f

zumindest surjektiv:

Seien

f : A \to B

und

g : B \to C

Abbildungen. Die Funktionen

f : A \to B

und

g \circ f : A \to C

seien bekannt, und

g

unbekannt. Außerdem sei

f

surjektiv.
Will man nun

g (b)

für ein

b \in B

finden, so findet man ein

a \in A,

so dass

f (a) = b

ist und erhält dann

g (b) = (g \circ f) (a)

Wenn man dann auf die Idee gekommen ist, dass

g

genau dann eindeutig bestimmt ist, wenn

f

surjektiv ist, ist der Beweis weder lang noch sehr schwer. Einen Beweis findet man beispielsweise hier:

http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Mengenlehre:_Injektivit%C3%A4t_Surjektivit%C3%A4t_Bijektivit%C3%A4t:_Rechtsk%C3%BCrzbarkeit

MrJegger aktiv_icon

14:30 Uhr, 10.08.2014

Hi kenkyu,

vielen Dank für Deine tolle Hilfe. =)
Okay...

Wie komme ich denn an die Funktion

g (z)

unter der Annahme dass

f (z)

surjektiv ist.
Also

f (z)

soll zum Beispiel ein Polynom sein und

g (f (z))

soll wieder gegeben sein, sowie

f (z)

...

Gibt es da ein geordnetes Rechenverfahren ??

anonymous

15:06 Uhr, 10.08.2014

Naja, wie bereits geschrieben:
"Will man nun

g (b)

für ein

b \in B

finden, so findet man ein

a \in A,

so dass

f (a) = b

ist und erhält dann

g (b) = (g \circ f) (a)

. "

Die Hauptschwierigkeit ist wohl, zu einem

b \in B

ein passendes

a \in A

zu finden, so dass

f (a) = b

ist.

Ist

f

umkehrbar, so könnte man versuchen die Umkehrfunktion zu finden, so dass dann

a = f^{- 1} (b)

ist. Ansonsten könnte man auch versuchen zumindest einzelne Bereiche zu finden, in denen

f

umkehrbar ist.
Das ist aber natürlich nur hilfreich, wenn sich die Umkehrfunktion leicht finden/berechnen lässt.

Im Prinzip ist die Gleichung

f (a) = b

nach a zu lösen.

Soll

f

ein Polynom sein, so ist also eine Gleichung der Form

\sum_{k = 0}^{\infty} p_{k} \cdot a^{k} = b

bzw.

- b + \sum_{k = 0}^{n} p_{k} \cdot a^{k} = 0

zu lösen.

Das geht allerdings nur in Spezialfällen einfach. Wenn der Grad größer als 4 ist, gibt es da nämlich keine allgemeinen Lösungsformeln mehr. Es hängt also sehr vom kokreten Problem ab.

Ist

f

beispielsweise ein Polynom vom Grad

2,

also

f (a) = p_{0} + p_{1} \cdot a + p_{2} \cdot a^{2},

lässt sich das noch einigermaßen einfach lösen:

f (a) = b

wird dann nämlich von

a = \frac{- p_{1} + \sqrt{p_{1}^{2} - 4 \cdot p_{2} \cdot (p_{0} - b)}}{2 \cdot p_{2}}

gelöst, so dass also

g (z) = g (f (\frac{- p_{1} + \sqrt{p_{1}^{2} - 4 \cdot p_{2} \cdot (p_{0} - z)}}{2 \cdot p_{2}}))

ist.

MrJegger aktiv_icon

15:31 Uhr, 10.08.2014

Hmmm wenn eine Funktion

f (z)

"eine" Umkehrabbildung besitzen soll, dann
muss sie ja schon injektiv sein.

Allerdings hatten wir ja nur surjektivität gefordert.

Die Vorstellung ist:

f^{- 1 ʹ} (f (z)) = \frac{1}{f ʹ (z)}

Wenn man also die äußere Funktion ohne invertieren von

f (z)

bestimmen könnte,
so könnte man durch Integrieren umkehrfunktionen finden.
Auch wenn f nicht injektiv ist, ließen sich ev. lokal Umkehrfunktionen entwickeln...
So die Vorstellung...
Interessant sind die Extrema/Wendepunkte von

f (z)

mit

f ʹ (z) = 0

wie man unschwer an den Polen erkennen kann. Sterngebiete->Sterngebiete für lokale Stammfunktionen... etc..

MrJegger aktiv_icon

13:15 Uhr, 11.08.2014

Okay,

ich habs...

Die Idee mit der lokalen Entwicklung in Potenzreihen stimmt soweit ich das sehe =)...

Es wird wohl für jedes Maxima und Minima eine Potenzreihe geben.
Wie es bei Sattelpunkten ausschaut ist mir allerdings noch unklar...
Aber das werde ich schon noch sehen.

Gruß und Danke für die Hilfe

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