Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zusammenhängend oder nicht?

Zusammenhängend oder nicht?

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Grundlagen Topologie, mengen, zusammenhängend

Gast17 aktiv_icon

18:40 Uhr, 04.03.2017

Guten Abend zusammen.

Folgende Frage beschäftigt mich gerade ein bisschen.

Sei

(Z, d)

ein metrischer Raum und seien

X, Y \subset Z

abgeschlossen. Wir nehmen an, dass

X \cup Y

und

X \cap Y

beide zusammenhängend sind. Folgt dann auch, dass

X

und

Y

zusammenhängend sind?

Um ehrlich zu sein bin ich mir nicht wirklich sicher wie man das am besten beantworten soll. Da ich mit dem Thema der metrischen Räume erst seit einer Woche arbeite fehlt mir hier im allg. ein bisschen das "Gefühl" wie man am besten an solche Aufgaben herangeht.

Ich habe mir mal zu Beginn als Bsp.

ℝ^{2}

genommen, einfach weil ich mit dem Raum vertraut bin und mir das ganz ziemlich gut vorstellen kann. Hier würde ich ganz klar sagen, dass

X

und

Y

zusammenhängend sind, falls

X \cup Y

und

X \cap Y

es auch sind. Vor allem weil der Schnitt zusammenhängend ist, ich meine wenn der Schnitt zusammenhängend ist, dann ist er nicht leer (oder?).

Gilt im Allgemeinen nicht, dass wenn der Schnitt von zwei Mengen nicht leer ist (also

X \cap Y \neq \emptyset

), dass sie dann zusammenhängend sind? bzw. folgt das nicht aus der Def. des Zusammenhangs?

Was mich weiter stört ist die Tatsache, dass darauf bestanden wird, dass die Mengen abgeschlossen sind. Wieso?
Als Bsp.

(0, 3) \cap (1, 4)

sind offene Mengen, mit nicht leerem Schnitt

\Rightarrow

zusammenhängend.

Wäre schön, wenn mir jemand erklären könnte wo ich falsch überlegt habe...

Gruss Gast

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

00:26 Uhr, 05.03.2017

"Vor allem weil der Schnitt zusammenhängend ist, ich meine wenn der Schnitt zusammenhängend ist, dann ist er nicht leer (oder?)."

Nein. Die leere Menge ist zusammenhängend. Schließlich kann man sie nicht in zwei disjunkte nicht-leere offene Mengen zerlegen.

\\\\

"Gilt im Allgemeinen nicht, dass wenn der Schnitt von zwei Mengen nicht leer ist (also

X \cap Y \neq \emptyset),

dass sie dann zusammenhängend sind?"

Nein. Gegenbeispiel: Betrachte beispielsweise

X = [- 3, - 1] \cup [1, 3]

und

Y = [- 2, 2]

als Teilmengen von

ℝ

. Offensichtlich ist

X \cap Y = [- 2, - 1] \cup [1, 2] \neq \emptyset,

aber

X

ist nicht zusammenhängend.

\\\\

"Als Bsp.

(0,3) \cap (1,4)

sind offene Mengen, mit nicht leerem Schnitt

\Rightarrow

zusammenhängend."

Ja in diesem Beispiel ist das richtig, aber nicht im Allgemeinen. (Siehe: Zuvor angegebenes Gegenbeispiel.)

\\\\

"Was mich weiter stört ist die Tatsache, dass darauf bestanden wird, dass die Mengen abgeschlossen sind. Wieso?"

Das liegt wohl daran, dass man sonst ein Gegenbeispiel findet. Beispielsweise:

Z = ℝ

X = [0, 1) \cup [2, 4]

Y = [1, 3]

X

ist nicht zusammenhängend, obwohl

X \cap Y = [2, 3]

und

X \cup Y = [0, 4]

zusammenhängend sind.

Ob für abgeschlossene Mengen

X, Y

folgt, dass dann

X

und

Y

zusammenhängend sind, habe ich mir noch nicht überlegt. Es könnte aber sein, dass die Folgerung dann richtig ist.

mihisu aktiv_icon

00:26 Uhr, 05.03.2017

Edit: war doppelt

pwmeyer aktiv_icon

10:03 Uhr, 05.03.2017

Hallo,

es gibt 2 Varianten von "Zusammenhang" - topologisch zusammenhängeng oder Weg-zusaammenhängend.

Vielleicht kannst Du mal kurz Eure Definition angeben.

Gruß pwm

Gast17 aktiv_icon

11:18 Uhr, 05.03.2017

Vielen Dank an mihisu für die Bsp.! Haben schon einiges deutlicher gemacht!

Bzgl. unserer Def.: Wir haben sowohl topologisch zusammenhängend als auch wegzusammenhängend definiert, wobei ich denke, dass in der Aufgabe die topologische Variante gemeint ist.

Def: Sei

(X, d)

ein nicht-leerer metrischer Raum. Wir nennen

(X, d)

zusammenhängend,
falls es keine zwei offene nicht-leere Teilmengen

O_{1}, O_{2} \subseteq X

gibt mit

X = O_{1} ⊔ O_{2}

.

Def: Sei

X

ein nicht-leerer metrischer Raum.
- Ein Weg in

X

ist eine stetige Abbildung

γ : [a, b] \to X

auf einem nicht-leeren Intervall

[a, b] \subseteq ℝ

mit Startpunkt

γ (a)

und Endpunkt

γ (b)

.
- Wir nennen

X

wegzusammenhängend, falls für je zwei Punkte

x, y \in X

ein Weg

γ : [0, 1] \to X

von

γ (x)

nach

γ (y)

existiert.

ermanus aktiv_icon

11:36 Uhr, 05.03.2017

Hallo,
indem Du in der "topologischen Variante" zu den Komplementen übergehst,
bekommst Du folgende äquivalente Bedingung:

... zusammenhängend, falls es keine zwei nicht-leere abgeschlossene Teilmengen

A_{1}, A_{2}

X

gibt mit

X = A_{1} ⊔ A_{2}

.

Mit dieser Definition kommst Du in Deinem Kontext sicher besser zurecht.
Zeige z.B.
(

X

nicht-zusammenhängend)

\land

(

X \cap Y

zusammenhängend)

\Rightarrow

(

X \cup Y

nicht zusammenhängend).

Gruß ermanus

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1358742

1358666

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?