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Zusammenhang zwischen definit und symmetrisch
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung
 
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Hallo zusammen Ich habe gelesen, dass symmetrische (hermitesche) Matrizen genau dann positiv definit sind, wenn alle Eigenwerte positiv sind. Was heisst das nun? Habe die Wikipediaseiten durchforstet, doch komme zu keinem Schluss.. Kann eine Matrix nur positiv definit sein, wenn sie symmetrisch ist UND positive Eigenwerte hat. Oder impliziert symmetrisch und positive Eigenwerte positiv definit (quasi als Kriterium, einfach schauen, ob sie symmetrisch ist und positive Eigenwerte hat), es gibt aber noch andere positiv definite Matrizen? Oder kann eine nicht-symmetrische Matrix gar nie nur positive Eigenwerte haben? Ich frage mich das vor allem deshalb, weil positiv definite, symmetrische Matrizen ja ein Skalarprodukt definieren.. Genügt es dann zu wissen, dass eine Matrix symmetrisch ist und positive Eigenwerte hat? Unter welchen Umständen it eine Matrix positiv definit (negativ, semi,...)..? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Positive Definitheit ist nur für symmetrische Matrizen definiert, da sich symmetrische Matrizen immer diagonalisieren lassen und ausschließlich reelle Eigenwerte besitzt. Und ja, es heißt ist pos. definit genau dann, wenn symmetrisch ist und nur positive Eigenwerte besitzt. Und nein, es können auch nicht-symmetrische Matrizen nur positive Eigenwerte haben. Analog gilt dies auch für negativ- und semi-definit. |
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Vielen Dank.. Alles klar.. |
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