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Zweidimensionale Lipschitz-Stetigkeit
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen
 
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Welche der folgenden Funktionen erfüllen in eine Lipschitz-Bedingung, welche erfüllen eine lokale Lipschitzbedingung (bezüglich )? Begründe deine Antwort! (1) (2) (3) Zu (1): Hier muss ich doch zeigen, dass Mein Problem ist, dass ich nicht weiß welche Norm zugrunde liegt, weil keine Angabe darüber gemacht wurde, also kann ich auch nicht so ein finden! Kann ich hier wirklich ohne weiters die euklidische Norm verwenden? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Mein Problem ist, dass ich nicht weiß welche Norm zugrunde liegt" Es ist egal, in sind alle Normen äquivalent. Kannst beliebige wählen. |
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So, jetzt beschäftige ich mich wieder mit dieser Aufgabe und bemerke: da kommen ja irrrre lange Rechnungen raus. Kannst du mir eine Norm empfehlen, die da nicht total lange Würste an Rechnungen liefert (die meisten liefern leiden seitenlange Umformungen mit riesigen Termen). Wäre lieb, wenn du mir das sagst. :-) |
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Hast Du schon mit versucht? |
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Nein, aber, deiner Meinung nach müsste es den Rechenaufwand (von allen anderen Normen) her minimieren!? |
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Ich habe die Aufgaben nicht durchgerechnet, aber meistens ist es die beste Wahl. |
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Weiteres probelem, das ich grad bemerke: Anfangs - und Zielraum haben unterschiedliche Dimension. So gesehen dürfte es sowieso mal viel schwerer Fallen da was zu vergleichen. Außerdem vertragen sich die Normen nicht. Ich müsste ja zeigen: Wie ich aber den linken Ausdruck mit deiner vorgeschlagenen Norm umformen soll ist mir schleierhaft. :/ Hast du da einen Tipp? |
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Neue Idee: Ich glaube ich kann mir Arbeit ersparen, denn: Die erste Funktion ist doch bei genauerer Betrachtung unbeschränkt (man braucht nur den Nenner festzuhalten und mit dem Zähler gegen unendlich gehen) und daher kann sie auch nicht Lipschitz sein. Weil das liegt nahe, dass sie irgendwo explodiert und dort somit in ihrem Wachstum (auch) unbeschränkt ist. |
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"Die erste Funktion ist doch bei genauerer Betrachtung unbeschränkt (man braucht nur den Nenner festzuhalten und mit dem Zähler gegen unendlich gehen) und daher kann sie auch nicht Lipschitz sein." Das ist eine falsche Folgerung. Eine eindimensionale Funktion ist unbeschränkt und doch global Lipschitz. Ist Dir bekannt, dass eine stetig diff-bare Funktion auch lokal Lipschitz ist? Und wenn Du eine Schranke für Ableitung hast, dann auch global. |
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Ich glaube nicht, dass im zweidimensionalen von Differenzierbarkeit alleine gesprochen werden darf. Soweit ich mich erinnere, muss man entweder von partieller oder von totaler Differenzierbarkeit reden. Okay, deiner Aussage zufolge sind alle außer die Mittelfunktion Lipschitz! Wir müssen aber Lipschitz-Konstanten angeben, das heißt wohl, ich werde Umformungen mittels Norm und Lipschitz-Definition durchführen müssen! |
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"Ich glaube nicht, dass im zweidimensionalen von Differenzierbarkeit alleine gesprochen werden darf." Doch. Aber damit wird immer die totale Diff-barkeit gemeint. "Okay, deiner Aussage zufolge sind alle außer die Mittelfunktion Lipschitz!" Lokal - ja, aber global? |
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"Wir müssen aber Lipschitz-Konstanten angeben, das heißt wohl, ich werde Umformungen mittels Norm und Lipschitz-Definition durchführen müssen!" Nicht unbedingt, solche Konstanten können Ableitungen liefern. Habt Ihr überhaupt nichts gemacht in die Richtung? |
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Lieb, dass du nachfragst: Voraussetzungen: Ana 2 + Lipschitz - Definition einer allgemeinen Funktion wobei und normierte Räume sind. Leider haben wir keine (konkreten) Beispiele angeschaut, daher sind paar meiner Kommilitonen auch verwirrt mit diesem Beispiel. |
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(Im Übrigen bin ich ein Fern-Uni Selbststudium Student ;-) ) |
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Übrigens reicht die partielle stetige Diff-barkeit für lokalen Lipschitz, kuck den Satz 12.3 hier: http//wwwmath.uni-muenster.de/u/raimar/lehre/WS08/Math-f-Phys-III/Math-f-Ph-3.pdf |
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Supi, ich präsentiere nun meine Resultate: Zu (1): Partielle Ableitung nach liefert , also ist eine Lipschitzkonstante etwa 1. Zu (3): Partielle Ableitung nach liefert also ist eine Lipschitzkonstante wieder 1. Zu (2): Hier versagt dieses Lemma, daher muss auf die Definition zurückgegriffen werden: Da folgt, dass es keine Lipschitzkonstante geben kann. Bistdu so mit meinen Begründungen zufrieden? |
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In 2) muss man noch sagen, dass die Funktion lokal Lipschitz ist. Global aber nicht mehr. |
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Zu (2): Zum Beispiel, wenn die Funktion auf einem Rechteck definiert ist!? Lieber dr.Boogie, eine andere interessante Frage, wieso reicht es eigentlich aus, dass die x-Koordinaten beim Nachweis der L-Stetigkeit übereinstimmen? Hat man da nicht einen Strich anstatt ganz |
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"Zu (2): Zum Beispiel, wenn die Funktion auf einem Rechteck definiert ist!? " Oder auch auf einem Kreis, ist egal, Hauptsache beschränkt. Die andere Frage hab ich nicht verstanden. |
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Du hast ja gesehen, wie ich die Lipschitz-Stetigkeit nachgewiesen habe, ich habe geschrieben, dass , d.h. die x-Kooridnaten stimmen überein. Aber muss man das nicht für die gesamte zweidimensionale Ebene zeigen, d.h. jeweils andere x-Koordinanten nehmen? |
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Wenn es nur um Lipschitz bzgl. geht, ist natürlich konstant, also ist es richtig abzuschätzen, mit gleichen . Das ist genauso wie in der Definition der partiellen Ableitung. |
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Na super, dann haben wir diesen Teil der Hausaufgabe ja erledigt, vielen Dank Dr. Boogie! :-) |
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