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Zweiseitiger Signifikanztest mit Intervallwkt.
Schüler
Tags: signifikanztest, Stochastik
 
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Hallo liebe Mathematiker! Ich werde gleich eine Aufgabe vorstellen und meine Lösung dazu aufschreiben. Die Fragen (ja, Plural) dazu, schreibe ich dann an die jeweilige Stelle in meiner Lösung. Aufgabe: Wir haben einen Bürgermeister, der von der Bevölkerung gewählt worden ist. Er möchte wissen, ob er im kommenden Wahlvorgang mit einem identischen Ausgang rechnen kann. Dazu werden Personen befragt, das Signifikanzniveau soll bei liegen. Lösung: Die Wählergunst hat sich verändert. Die Gunst hat sich zum Positiven geändert. Die Gunst hat sich zum Negativen geändert. Das war das, was wir im Unterricht noch zusammen gemacht haben. Es wurde bis hierhin die Nullhypothese konkreter formuliert und die beiden letzen Schritte verdeutlichen, dass in beiden Fällen mit gerechnet wird. Mit welcher Begründung kann man das rechtfertigen? Die sind ja eigentlich nicht in der Hypothese enthalten. Ich mache dann mal weiter: Anzahl der Personen unter den die angeben, den Bürgermeister wiederzuwählen. ist binomialverteilt mit und . wird nur dann abgelehnt, wenn ungefähr Befragte angeben, den Bürgermeister wiederzuwählen. Dann habe ich mir eine Skizze gezeichnet. Ein zu symmetrisches Gebiet der Glockenkurve hat des Flächeninhalts der Glocke von bis . Der Annahmebereich teilt sich also in zwei Intervalle auf, beide haben eine Wahrscheinlichkeit von . Da die ein Maximalwert sind, sind die ein Minimalwert. sei nun die linke und die rechte Grenze des Verwerfungsbereiches. Es muss dann gelten: Dass es sein muss, ist für mich klar und auch richtig, glaube ich. Ist aber das und richtig, oder muss es und sein? und sind doch wegen und in meinem Verwerfungsbereich (was ja auch so sein soll), würde ich und nehmen, wären sie im Annahmebereich, richtig? Die Laplace-Bedingung ist wegen erfüllt, also kann als näherungsweise normalverteilt angesehen werden. Ich komme dann auf und . Kann das jemand bestätigen? Somit erhalte ich den Ablehnungsbereich . Irgendwie kommt der mir ziemlich klein vor. Was mich aber am meisten an dieser Aufgabe stört, ist, dass ich mit gerechnet habe, obwohl das garnicht zu gehört. Danke für die Beantwortung meiner Fragen! Sabine Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Gegenfrage: mit welchem würdest du denn sonst die Verteilung ansetzen? Die sind doch die einzige konkrete Angabe. Nicht das ist wichtig, sondern die Interpretation der Ergebnisse. Ich meine, dass du das Signifikanzniveau falsch interpretiert hast. Bei einer so kleinen Zahl kann es eigentlich nur bedeuten, dass man einen maximalen Fehler von für die anstehende Entscheidung zugesteht und nicht, dass man sich zu sicher sein will. Leider gehen bei vielen Aufgaben die Bedeutungen von "Signifikanzniveau" auseinander. Es ist hilfreich, dass "signifikant" soviel wie "deutlich" heißt. Das Gegenteil wäre hier "zufällig". Gleich 3 Hypothesen...Hier wird erschreckend klar, wie man Schülern eine einfache Sache mit viel Formalismen so verwirrend vermittelt, dass selbst gute über ihre eigenen Füße stolpern. Der Mittelwert wäre . Die Hypothese "Die Zustimmung ist unverändert" wird abgelehnt, wenn deutlich weniger oder deutlich mehr als die erreicht werden. Wegen der Toleranz reicht der Annahmebereich von bis und liegt symmetrisch zu . Mit folgt für die größte Zahl im Annahmebereich . Das gibt . Also ist das größte zulässige Ergebnis für die Annahme. Entsprechend ist das kleinste zulässige für die Annahme. |
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Ja mit der von dir gewählten Nullhypothese machen deine Ausführungen sinn, aber ich habe eine andere Nullhypothese. Um den erwartungswert liegt ein symmetrischer Bereich mit der Verwerfungsbereich. Der Annahmebereich splittet sich dann auf. Und daher denke ich auch nicht, dass ich das Signifikanzniveau falsch interpretiert habe. |
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Ja, stimmt. Im Kontext allerdings ist dieser Test eigentlich überflüssig, die Kosten dafür könnte die Partei des Bürgermeisters sparen, denn "unveränderte Zustimmung" wird ja nur bei einer "Punktlandung" angenommen. Die Abituraufgaben haben in der Regel einseitige Tests und die Hypothesen sind meistens vorgegeben bzw. geht aus dem Text hervor, welche Absicht die Tester haben. Man nimmt dann als Hypothese immer das Gegenteil. Wenn du die Sammlung der Aufgaben von Stark hast, schau mal in die Stochastik vom letzten Jahr, Alkohol im Verkehr. |
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Die Sammlung habe ich leider nicht. Danke für die Antwort. Ich meinte im Unterricht schon, dass es in meinen Augen sinnvoller ist, zu überprüfen, ob sich die Stimmzahl geändert hat. Mit einer solchen Aufgabe hätte ich auch weniger Probleme, weil (bzw. dann nicht zusammengesetzt wäre. Sind denn meine Ergebnisse und erläuterungen aus meiner Fragestellung richtig? Und magst du nochmal auf meine In meiner Lösung versteckten Fragen eingehen? Fragen waren (vereinfacht): 1. Rechtfertigung 2. Zugehörigkeit von bzw. bei und 3. Größe des Ablehnungsbereiches 4. Meine Grundidee lag ja in der von mir beschriebenen Skizze. Kann man das so machen? Ich hab nochmal das Gegenteil der Nullhypothese als Nullhypothese nachgerechnet. Sprich das, was du zuerst dachtest. 1. Aus 1. folgt dann Aus 2. folgt Somit der Ablehnungsbereich . Dieser entscheidet sich ganz minimal von deinem. Wieso? An der besseren Genauigkeit deiner Tabelle (du hast 3 Nachkommastellen) liegt es meiner Meinung nach nicht. Diese 5 Fragen sind also noch offen. |
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Die Frage nach den dürfte sich erledigt haben. Ich habe die Situation noch einmal als Bild angefügt. ist die erste ganze Zahl, die in den Annahmebereich "hineintapst", die größte, die noch innerhalb liegt. Da ist, ergibt sich und . Daraus folgt . und 413,11...Also ist der Annahmebereich bei dieser Entscheidungsregel. Die Frage, ob es oder heißen muss, ist oft akademisch, weil ein Schritt von 1 auf der Skala der deutlich größeren Schritten innerhalb der %-Skala entspricht, so dass eine genaue Landung mit ganzzahligem auf einem bestimmten Prozentwert praktisch nie vorkommt. Hier sind Niveau gegeben, der Rand gehört also zum Annahmebereich, von daher wäre bei zutreffend, was aber dasselbe ergibt. Zum Vergleich mit meiner Rechnung: bei muss es, egal bei welchem Niveau, immer heißen, bei . Das hast du vertauscht und bekommst so um 1 veränderte Werte. Auch hast du genommen, was sich in der Definition von meinem unterscheidet.  |
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Ehrlich gesagt bin ich jetzt nicht wirklich schlauer als vorher.. Okay, die sind der einzig angegebene konkrete Wert für trotzdem lautet . Wieso rechne ich also mit ? Den ganzen Rest kann ich nicht nachvollziehen. Lies dir doch bitte nochmal meinen ersten Post durch und sage konkret, was an welcher Stelle falsch ist. Achte dabei bitte auch auf die und die (bzw. die Gegenteile davon). In der Aufgabe wollte ich, dass und zum ABlehnungsbereich gehören, deswegen habe ich nur mit und gearbeitet, weil die Prozentzahl ja den Annahmebereich darstellt. Ich finde es auch merkwürdig, dass dein Ablehnungsbereich assymmetrisch zu ist. Zu deinem Test: Ich möchte auch hier den ABlehnungsbereich festlegen, dann ist es doch aber genau andersrum als von dir gesagt. Ich sehe in meiner Rechnung einfach den Fehler/die Fehler nicht. |
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Ok, letzter Versuch (denn so langsam verwirrt mich das auch). Wir haben eine Hypothese, die abgelehnt wird, falls das Ergebnis nicht mehr als nach oben oder unten vom Mittelwert abweicht. Soweit D'accord. Jetzt schreibst du:"die linke Grenze des Verwerfungsbereiches sei und die rechte k_r". Eigentlich bezeichnet eine ganze Zahl, bei deiner Wahl ist es aber eine reelle Zahl, die genau dem Wert bzw. entspricht. Die Hypothese wird also abgelehnt, wenn das vom Ergebnis mindestens und höchstens beträgt und somit in der symmetrischen Mittelzone landet. Die beiden nächsten Ungleichungen sehen eher seltsam aus, denn es ist nicht klar, ob sie Bedingungen für das . Jetzt hab ich den Faden verloren, am Schirm ist das sowieso noch schwerer zu verfolgen wegen des kleinen Fensters. Tut mir leid, aber diese Art des Ansatzes mit gleich 3 Hypothesen liegt so weit von meiner üblichen Herangehensweise weg, dass ich mit dem Nachvollzug nicht zurecht komme. |
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Naja eigentlich ja nicht. Wir lehnen ab, falls das Ergebnis nicht mehr als nach oben oder unten von abweicht. Ich bin so langsam auch der Überzeugung, dass diese drei Hypothesen auch nur der Verwirrung dienen. Eigentlich genügt es, mit zu arbeiten. Jetzt unterteile ich die Glocke in drei Teile. Von links nach rechts: . Die bzw. deren Bereich stellt ja den Ablehnungsbereich dar. Dieser Beträgt HÖCHSTENS demzufolge kann es auch sein, dass die rechten (und linken) größer werden, nämlich genau dann, wenn die kleiner werden. Soweit klar? Jetzt möchte ich Grenzen bestimmen, die zwei Eigenschaften haben sollen: 1. Sie sollen die 3 Bereiche nach den oben genannten Prozentzahlen trennen. 2. Sie sollen IM ABLEHNUNGSBEREICH liegen. Hätte ich nur wäre nicht gewährleistet, dass es natürliche Zahlen sind. Man muss also runden. Wie bzw. in welche Richtung geundet werden soll, gibt 2. vor. Man bedanke: Der Ablehnungsbereich ist ein zusammenhängendes Intervall, der Annahmebereich ist aufgesplittet. Man sagt ja immer: . Also die Wahrscheinlichkeit für den Verwerfungsbereich soll kleiner oder gleich dem Signifikanzniveau sein. Wenn ich also anstatt schreibe, ist dieses Element von V. Schreibe ich so ist nicht Element von sondern vom Annahmebereich und zwar eine Grenze von diesem. Ob obere oder untere hängt von der Art der Hypothese ab. Die ersten sind Annahmebereich. In wäre also Element von diesem. Das möchte ich aber nicht, also wähle ich . So ist mein im Ablehnungsbereich. Da die ein MINDESTwert sind, ist . Für uns ist es ja nur recht, wenn die überschritten werden, weil dann automatisch die unterschritten werden. Für gilt die selbe Begründung und man kommt auf . Kein Mensch sagt übrigens, dass ich Recht habe. Für mich scheint das jedoch alles recht plausibel. Ich hoffe du meldest dich trotz deiner ersten Bemerkung nochmal! :-) Sabine |
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Ich habe noch einmal probiert, das Ganze als stetige Verteilung aufzufassen, wie es einer genauen Berechnung der Grenzen, also mit zugelassenen nicht ganzzahligen Werten, auch entspricht. Mit einem CAS lässt sich die Funktion umkehren. Für einen Mittelwert von und eine Varianz von ergibt sich für ein Wert von 411,388..Ich hatte 410,88..Die Differenz ist auf das zurückzuführen. Für erhält man . Jetzt ist aber zu berücksichtigen, dass die Personenzahl ja ganzzahlig ist und jeweils umfasst. Die liegt dann vollkommen im Annahmebereich, die auch. Die liegen nicht komplett im Verwerfungsbereich, weil ist. Insofern reicht der Verwerfungsbereich nur von bis 0. Auf der rechten Seite liegt auch nicht ganz im Verwerfungsbereich, weil . ist. Man sieht, hier stößt die Näherung an ihre Grenzen, weil der mittlere Bereich so klein ist. Das soll es aber jetzt wirklich sein. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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