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Zwischenwertsatz
Universität / Fachhochschule
Tags: Zwischenwertsatz
 
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Hallo, ich habe noch eine Frage zur Bearbeitung der folgenden Aufgabe: "Sei f: R -> x³-sin(x) gegeben. Zeige: f ist surjektiv und verwende dabei den Zwischenwertsatz." Der Zwischenwertsatz besagt ja, wenn eine Funktion stetig ist und f(b) >/= f(a), gibt es einen x-Wert im Intervall (a;b), beispielsweise c, der in die Funktionsgleichung eingesetzt einen Funktionswert zwischen f(a) und f(b) ergibt: f(a) </= f(c) </= f(b) f(x) = x³-sin(x) ist ja surjektiv, da zu jedem x-Wert ein y-Wert existiert. Ich überlege, die Aufgabe folgendermaßen zu beantworten: 1.) f(x) ist stetig, der Definitionsbereich ist R 2.) f(unendlich) > f(- unendlich) -> nach dem Zwischwertsatz: Jeder x-Wert zwischen Minus- und Plus-Unendlich ist einem Funktionswert zwischen f(unendlich) und f(- unendlich) zugeordnet. Somit ist die Funktion surjektiv. Würdet ihr die Aufgabe auch so beantworten? Gruß M. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Du kannst gleich allgemein folgendes zeigen: Ist stetig und gilt sowie so ist surjektiv. Und das ergibt sich natürlich direkt aus dem Zwischenwertsatz. |
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Danke, so sieht es ein kompakter aus. :-) |
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Ich würde das dann in etwa so aufschreiben: Sei beliebig. Dann gibt es wegen oBdA ein mit . Analog dazu gibt es wegen ein mit . Aus und der Stetigkeit von folgt dann mit dem Zwischenwertsatz |
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