Zylinder Oberfläche minimieren- Extremwertaufgabe

Aus Krankheitsgründen habe ich für die Extremwertaufgabe nur ein Script einer Mitschülerin:

Erstmal zur Aufgabenstellung:

Es sollen 2-Liter-Dosen mit Deckel hergestellt werden. Geben Sie die Abmessungen so an, dass der Blechverbrauch minimal wird!

Hauptbedingung: Oberfläche soll minimal werden. (verständlich für mich )

Also wie sie die Oberfläche hingezaubert hat kann ich mir leider nicht herleiten und bräuchte hier Hilfe, da ich sonst immer mit r² gerechnet habe und mit dem Durchmesser nun völlig durcheinander komme.

weiter schreibt sie V=2L= h*pi*d²/4 (kursiv Erläuterung O-Deckel= O-Boden= Grunfläche, was für mich logisch nachvollziehbar ist wenn es eben die richtige Formel für die 2 Kreisflächen ist)

Ihre Zielfunktion sieht so aus:

O(d)= pi*d²/2+pi*d(8/pi*d2)

O(d)= pi*d²/2+8/d

Optimierung durch Ableitungen:

etc. (hier hören ihre Aufzeichnungen dann auf)

Ich würde von jemandem wissen, wie sich die Formeln für den Zylinder zur Rechnung mit r² und d (Durchmesser) verhalten, da ich die Formeln über r² im Formelbuch habe, so aber nicht nach dem Schema meiner MItschülerin arbeiten kann, da in der Schule nunmal mit dem Durchmesser gerechnet wurde, was wohl wahrscheinlich auch einfacher ist.

Ausserdem wäre es nett wenn mir jemand sagt ob die FOrmelaufstellungen die oben angegeben sind, richtig sind und wie man darauf logisch nachvollziehbar kommt, ich denke ich hab mich einfach zu sehr auf das r² versteift.

Mir ist zudem nicht ganz klar wie sich das mit 2 Kreisflächenverhält, nach meiner Denkweise mit r² müsste es bei 2 Kreisflächen doch O-Deckel+ O-Boden= 2(pi*r²) sein, da eine Kreisfläche = pi*r² ist. (habe ich da einen Denkfehler drin?)

Vielen Dank für eure Unterstützung

vielen dank, das ist schon mal verständlich für mich.. bis hin zur 3.wurzel.. mit dem Tsachenrechner bekomme ich ja nur einen Wert, bleibt es bei diesem einen. oder verhält sich das ähnlich wie bei dem wurzel ziehen bei dem ich dan x1 und x2(negativ wurzel) herausbekomme?

Ausserdem wäre es es nett wenn mir nochmal jemand das ganze mit dem Durchmesser errechnet, da mein errechnetes Ergebnis damit falsch ist und ich gern wissen würde wo hier mein Fehler liegt.

Zielfunktion ist bei mir O(d)= pi*d²/2+8/d

Ableitungen:

O'(d)= pi*d-8/d²

O''(d)=pi+16/d³

1.Ableitung = 0 setzen

O'(d) =pi*d-8/d²

      0 =pi*d-8/d²

       8=pi*d³

   8/pi=d³

2,546= d³  (Ergebnis wurde auf 3 Stellen nach dem KOmma gerundet)

1,365= d

mittels des Durchmesserwertes habe ich nun versucht h, die Höhe auszurechnen

h=8/pi*d²

h=8/pi*(1,365)²

h= 4,745

Wenn ich jetzt die Probe mache um das ganze zu überprüfen und es in die Volumenformel einsetze bekomme ich nciht die 2L heraus die es sein sollten :(

V=pi*d²*h/4

V=pi*(1,365)²*4,745/4

V=6,944 (ebenfalls auf 3 Stellen nach dem K0mma gerundet)

eigentlich sollte aber 2L herauskommen, kann mir vll. nochmal jemand sagen was ich da falsch gemacht hab?

Vielen Dank

Vielen Dank für deine Antwort Benjamin,

1)"der Durchmesser d eines Kreises ist 2mal der Radius: r=2d"

das war mir klar, es ging mir um die verschiedenen Formeln, und du findest nirgends eine Formel V=pi*2d*h, die wird immer umgeformt geschrieben und das war das verwirrende daran.

2) die Formal für das Volumen ist falsch: V=h*pi*d*d/2

daraus erhälst du h=V*2/pi*d*d

O(d)= pi*d*d/2+V*2/d

O'(d)= pi*d-V*2/d*d

dhoch3= V*2/pi

setze für V 2 ein und errechne d,

setze d in h=V*2/pi*d*d ein.

Danke, jetzt weiss ich wie ich es lösen kann, aber dadurch verstehe ich es noch immer nicht. Warum diese Formel.. es wäre wirklich hilfreicher wenn mir jemand die Dinge erläutern würde..Danke

Ich will die Antworten nicht schlecht machen, wie gesagt es hilft wenn man sie lösen kann aber das führt bei mir nicht zum Verständnis..tut mir leid