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Zylinderfläche berechnen (Oberflächenintegral)

Universität / Fachhochschule

Tags: Oberflächenintegral, Zylinder

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16:03 Uhr, 15.02.2016

Moin,

die Aufgabe lautet: Berechne den Flächeninhalt des Teils des Zylinders

2 z = x^{2},

der von den Ebenen

y = \frac{x}{2},

y = 2 x

und

x = 2 \cdot \sqrt{2}

begrenzt wird.
Die Aufgabe fällt in den Bereich Integralsätze/Oberflächenintegral und die Lösung ist

13

. Kann mir bitte jemand bei dem Lösungsweg helfen? Mein Ansatz war folgender:

- Ich habe

2 z = x^{2}

nach

z

umgestellt, daher

\frac{x^{2}}{2}

- Ich habe die Grenzen für das Integral für

y

bestimmt, indem ich

x = 2 \sqrt{2}

in die beiden Gleichungen für

y

eingesetzt habe
- die Grenzen für

x

habe ich zwischen 0 und

2 \sqrt{2}

gewählt, aber bei 0 bin ich mir nicht sicher.

Mein Integral:

A = \int_{0}^{2 \sqrt{2}} (\int_{\sqrt{2}}^{4 \sqrt{2}} \frac{x^{2}}{2} d y) d x

Das Ergebnis dafür ist jedoch nicht

13

.
Ich wollte mir das gerne grafisch aufzeichnen, aber mit

3 D

Darstellungen von Körpern habe ich immer meine Probleme.
Wären Zylinderkoordinaten eine Idee? Damit habe ich noch kaum Erfahrung.
Bin für jeden Tipp dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

ledum aktiv_icon

17:07 Uhr, 15.02.2016

Hallo
deine Grenzen für

y

sind falsch, die gehen doch von

\frac{x}{2}

bis

2 x

dass du über

z

also

\frac{x^{2}}{2}

integrierst ist auch falsch. due integrierst über die Fläche in der

x - y

ebene, also mit

d x d y,

aber die ist ja in der Höhe

z

verzerrt,

d . h

. du brauchst die Verzerrung

\frac{d z}{d x} = x

also mit Pythagoras in der

x - y -

Ebene

\sqrt{1 - x^{2}}

damit

\int (\int \sqrt{1 - x^{2}} d y) \cdot d x

mit obigen Grenzen

Gruß ledum

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17:34 Uhr, 15.02.2016

Hi,

danke für deine Antwort.
Diese Rechnung habe ich auch bereits versucht und komme auf

16

.
Vielleicht ist

16

ja auch richtig und die angegebene Lösung ist falsch. 3 und 6 liegen ja nahe beieinander am Ziffernblock...
Wäre cool, wenn das mal jemand gegenrechnen könnte.

ledum aktiv_icon

17:38 Uhr, 15.02.2016

Hallo
ich hab meine Beitrag ergänzt, du warst zu schnell.
Gruß ledum

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19:07 Uhr, 15.02.2016

Hallo Ledum,

danke für deine Antwort.
Ich habe probiert, das von dir vorgeschlagene Integral zu berechnen in den Grenzen von

\frac{x}{2}

bis

2 x

beim inneren

(d y)

und 0 bis

2 \cdot \sqrt{2}

im äußeren

(d x)

Integral.
Leider komme ich dabei auf eine imaginäre Zahl, da kann irgendwas noch nicht stimmen. Ich habe das mit einem Online-Integralrechner ausgerechnet.

Außerdem kann ich deinem Gedankengang nicht ganz folgen.

\frac{d z}{d x} = x

ist klar, den Satz des Pythagoras verstehe ich prinzipiell auch, aber wie genau kommst du auf die Wurzel?

ledum aktiv_icon

23:24 Uhr, 15.02.2016

Hallo
die Länge auf der Fläche ist

\sqrt{{d x}^{2} + {d z}^{2}} = \sqrt{1 + {(\frac{d z}{d x})}^{2}} \cdot d x = \sqrt{1 + x^{2}} d x

die Integrale sind wirklich leicht zu integrieren , da braucht man keine Rechner:
ich sehe grade, dass ich da in der Wurzel ein - statt

+

hatte , sorry, aber du solltest sowas nachprüfen!
Gruß ledum

Ronsen aktiv_icon

10:04 Uhr, 16.02.2016

Hi,

ja, mit einem Plus macht das alles natürlich mehr Sinn und damit komme ich auch auf ein vernünftiges Ergebnis. So ist das Integral auch viel leichter zu lösen.
Das mit dem Nachprüfen ging eben nicht so leicht, weil ich den Gedankengang noch nicht verstanden hatte. Jetzt mit der Erklärung, wie du auf das Integral gekommen bist, wird es mir klarer. Hoffentlich kann ich das auch auf andere Aufgaben anwenden...

Diese Aufgabe ist damit gelöst, vielen Dank noch mal!

Ronsen aktiv_icon

14:52 Uhr, 16.02.2016

Okay, ich habe das Prinzip noch nicht begriffen.
Habe jetzt die nächste Aufgabe begonnen und stehe wieder auf dem Schlauch.

Berechne den Flächeninhalt des Teils der Fläche

z^{2} =

2xy

(z > 0),

der von den Ebenen

x = 0, x = a, y = 0, y = b

begrenzt wird

(a, b > 0)

.

Ich brauche nicht die Lösung für das Integral, ich möchte die grundlegende Herangehensweise verstehen. Im letzten Beispiel wurde das mit Satz des Pythagoras gemacht, gilt das hier auch? Ich brauche eigentlich eine Schritt für Schritt Anleitung bis zu dem Punkt, an dem dann integriert wird.

ledum aktiv_icon

15:49 Uhr, 16.02.2016

Hallo
hier hast du gegenüber der

x - y

ebene eine "Verzerrung! in beiden Richtungen, das flächenelement über der

x y

ebene ist also

\sqrt{z_{x}^{2} + z_{y}^{2} + 1} \cdot d x \cdot d y

über das du integrieren musst, die Grenzen sind ja diesmal einfach.
vielleicht liest du mal
de.wikipedia.org/wiki/Oberflächenintegral
oder siehst auch in dein Skript oder Buch.
Gruss ledum

Ronsen aktiv_icon

16:23 Uhr, 16.02.2016

Die Skripte haben mir bislang nicht geholfen. Ich habe letzte Woche mehrere Stunden Zeugs über Oberflächenintegrale ausgearbeitet, aber jetzt bei der praktischen Anwendung gelingt es mir nicht, das umzusetzen. Bin auch schon ein bisschen am Verzweifeln hier, weil es mich tierisch wurmt, wenn ich einfach nicht weiter komme und die Skripte immer kryptisch sind...

Können wir das Integral bitte mal formell abgleichen?

Lautet es:

A = \int_{0}^{b} \int_{0}^{a} \sqrt{4 x^{2} + 4 y^{2} + 1} d x d y

ledum aktiv_icon

13:05 Uhr, 17.02.2016

Hallo
ich habe dasselbe Ergebnis
Gruß ledum

Ronsen aktiv_icon

15:18 Uhr, 17.02.2016

Okay, dankeschön. Ich werde für die Lösung dieses Integrals wohl noch eine Extrafrage erstellen müssen...

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